給定雙曲線x2=1,過點(diǎn)A(2,1)的直線l與所給雙曲線交于P1、P2兩點(diǎn),求線段P1P2中點(diǎn)P的軌跡方程.
解:設(shè)P1(x1,y1)、P2(x2,y2)、P(x,y),則 x12=1,① x22=1.② ①-②,可得(x1-x2)(x1+x2)(y1+y2)=0.③ ∵④⑤ 將④⑤整體代入③,得. 又∵P1、P2、A、P四點(diǎn)共線, ∴2x·(x-2)-y(y-1)=0,即所求軌跡方程是2x2-4x-y2+y=0. |
這類問題常見的有兩種類型: (1)已知斜率求平行弦的中點(diǎn)軌跡方程; (2)過某定點(diǎn)作圓錐曲線的割線,求截得弦的中點(diǎn)軌跡方程. 上述兩種類型均與弦的中點(diǎn)有關(guān),因此可采用點(diǎn)差法(設(shè)而不解,兩式相減法)來求解. |
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