已知函數(shù)f(x)=
1
4x+2
(x∈R).
(1)已知點(diǎn)(1,
1
6
)
在f(x)的圖象上,判斷其關(guān)于點(diǎn)(
1
2
,
1
4
)
對稱的點(diǎn)是否仍在f(x)的圖象上;
(2)求證:函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(
1
2
,
1
4
)
對稱;
(3)若數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=f(
n
m
)
(m∈N*,n=1,2,…,m),求數(shù)列{an}的前m項(xiàng)和Sm
分析:(1)由(1,
1
6
)
關(guān)于點(diǎn)(
1
2
1
4
)
的對稱點(diǎn)為(0,
1
3
)
,滿足函數(shù)解析式,所以(1,
1
6
)
關(guān)于點(diǎn)(
1
2
,
1
4
)
的對稱點(diǎn)仍在該函數(shù)的圖象上.
(2)設(shè)點(diǎn)P0(x0,y0)是函數(shù)f(x)的圖象上任意一點(diǎn),其關(guān)于點(diǎn)(
1
2
1
4
)
的對稱點(diǎn)為P(x,y).由
x+x0
2
=
1
2
y+y0
2
=
1
4
得點(diǎn)P的坐標(biāo)為P(1-x0
1
2
-y0)
.由點(diǎn)P0(x0,y0)在函數(shù)f(x)的圖象上,得y0=
1
4x0+2
.由此能夠推導(dǎo)出函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(
1
2
,
1
4
)
對稱.
(3)由f(x)+f(1-x)=
1
2
,知f(
k
m
)+f(1-
k
m
)=
1
2
(1≤k≤m-1)
,由Sm=a1+a2+a3+…+am-1+am,得Sm=am-1+am-2+am-3+…+a1+am,由此能求出數(shù)列{an}的前m項(xiàng)和Sm
解答:解:(1)顯然(1,
1
6
)
關(guān)于點(diǎn)(
1
2
1
4
)

的對稱點(diǎn)為(0,
1
3
)
,滿足函數(shù)解析式,
所以(1,
1
6
)
關(guān)于點(diǎn)(
1
2
1
4
)
的對稱點(diǎn)仍在該函數(shù)的圖象上.(3分)
(2)設(shè)點(diǎn)P0(x0,y0)是函數(shù)f(x)的圖象上任意一點(diǎn),
其關(guān)于點(diǎn)(
1
2
,
1
4
)
的對稱點(diǎn)為P(x,y).
x+x0
2
=
1
2
y+y0
2
=
1
4
x=1-x0
y=
1
2
-y0.

所以,點(diǎn)P的坐標(biāo)為P(1-x0,
1
2
-y0)
.(6分)
由點(diǎn)P0(x0,y0)在函數(shù)f(x)的圖象上,
y0=
1
4x0+2

f(1-x0)=
1
41-x0+2
=
4x0
4+2•4x0
=
4x0
2(4x0+2)
,
1
2
-y0=
1
2
-
1
4x0+2
=
4x0
2(4x0+2)

∴點(diǎn)P(1-x0,
1
2
-y0)
在函數(shù)f(x)的圖象上.
∴函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(
1
2
,
1
4
)
對稱.(9分)
(3)由(2)可知,f(x)+f(1-x)=
1
2
,
所以f(
k
m
)+f(1-
k
m
)=
1
2
(1≤k≤m-1)

f(
k
m
)+f(
m-k
m
)=
1
2
,∴ak+am-k=
1
2
,(12分)
由Sm=a1+a2+a3+…+am-1+am,①
得Sm=am-1+am-2+am-3+…+a1+am,②
由①+②,得2Sm=(m-1)×
1
2
+2am=
m-1
2
+2×
1
6
=
m
2
-
1
6
,
Sm=
1
12
(3m-1)
.(16分)
點(diǎn)評:本題考查數(shù)列的綜合應(yīng)用,解題時(shí)要注意公式的合理運(yùn)用.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(1)、已知函數(shù)f(x)=
1+
2
cos(2x-
π
4
)
sin(x+
π
2
)
.若角α在第一象限且cosα=
3
5
,求f(α)

(2)函數(shù)f(x)=2cos2x-2
3
sinxcosx
的圖象按向量
m
=(
π
6
,-1)
平移后,得到一個(gè)函數(shù)g(x)的圖象,求g(x)的解析式.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=(1-
a
x
)ex
,若同時(shí)滿足條件:
①?x0∈(0,+∞),x0為f(x)的一個(gè)極大值點(diǎn);
②?x∈(8,+∞),f(x)>0.
則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
1+lnx
x

(1)如果a>0,函數(shù)在區(qū)間(a,a+
1
2
)
上存在極值,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(2)當(dāng)x≥1時(shí),不等式f(x)≥
k
x+1
恒成立,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
1+
1
x
,(x>1)
x2+1,(-1≤x≤1)
2x+3,(x<-1)

(1)求f(
1
2
-1
)
與f(f(1))的值;
(2)若f(a)=
3
2
,求a的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

定義在D上的函數(shù)f(x)如果滿足:對任意x∈D,存在常數(shù)M>0,都有|f(x)|≤M成立,則稱f(x)是D上的有界函數(shù),其中M稱為函數(shù)f(x)的上界.已知函數(shù)f(x)=
1-m•2x1+m•2x

(1)m=1時(shí),求函數(shù)f(x)在(-∞,0)上的值域,并判斷f(x)在(-∞,0)上是否為有界函數(shù),請說明理由;
(2)若函數(shù)f(x)在[0,1]上是以3為上界的有界函數(shù),求m的取值范圍.

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同步練習(xí)冊答案