Question

一個盒子裝有六張卡片，上面分別寫著如下六個函數(shù)：f1(x)=x3，f2(x)=5|x|，f₃（x）=2，f4(x)=

2x-1

2x+1

，f5(x)=sin(

π

2

+x)，f₆（x）=xcosx．
（Ⅰ）從中任意拿取2張卡片，若其中有一張卡片上寫著的函數(shù)為奇函數(shù)．在此條件下，求兩張卡片上寫著的函數(shù)相加得到的新函數(shù)為奇函數(shù)的概率；
（Ⅱ）現(xiàn)從盒子中逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一張寫有偶函數(shù)的卡片則停止抽取，否則繼續(xù)進(jìn)行，求抽取次數(shù)ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析：（Ⅰ）所有的基本事件包括兩類：一類為兩張卡片上寫的函數(shù)均為奇函數(shù)；另一類為兩張卡片上寫的函數(shù)為一個是奇函數(shù)，一個為偶函數(shù)，先求出基本事件總數(shù)為

C

1 3

C

1 3

+

C

2 3

，滿足條件的基本事件為兩張卡片上寫的函數(shù)均為奇函數(shù)，再求出滿足條件的基本事件個數(shù)為

C

2 3

，由此能求出結(jié)果．
（Ⅱ）ξ可取1，2，3，4．分別求出對應(yīng)的概率，由此能求出ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答：（本小題滿分12分）
解：（Ⅰ）f1(x)=x3為奇函數(shù)；
f2(x)=5|x|為偶函數(shù)；
f₃（x）=2為偶函數(shù)；
f4(x)=

2x-1

2x+1

為奇函數(shù)；
f5(x)=sin(

π

2

+x)為偶函數(shù)； 
f₆（x）=xcosx為奇函數(shù)…（3分）
所有的基本事件包括兩類：一類為兩張卡片上寫的函數(shù)均為奇函數(shù)；
另一類為兩張卡片上寫的函數(shù)為一個是奇函數(shù)，一個為偶函數(shù)；
故基本事件總數(shù)為

C

1 3

C

1 3

+

C

2 3

滿足條件的基本事件為兩張卡片上寫的函數(shù)均為奇函數(shù)，
故滿足條件的基本事件個數(shù)為

C

2 3

故所求概率為P=

C 2 3

C 1 3 C 1 3 + C 2 3

=

1

4

．…（6分）
（Ⅱ）ξ可取1，2，3，4．…（7分）
P(ξ=1)=

C 1 3

C 1 6

=

1

2

，P(ξ=2)=

C 1 3

C 1 6

•

C 1 3

C 1 5

=

3

10

，P(ξ=3)=

C 1 3

C 1 6

•

C 1 2

C 1 5

•

C 1 3

C 1 4

=

3

20

，P(ξ=4)=

C 1 3

C 1 6

•

C 1 2

C 1 5

•

C 1 1

C 1 4

•

C 1 3

C 1 3

=

1

20

；
故ξ的分布列為

ξ	1	2	3	4
P	3 10	3 10	3 20	1 20

…（10分）Eξ=1×

1

2

+2×

3

10

+3×

3

20

+4×

1

20

=

7

4

．
∴ξ的數(shù)學(xué)期望為

7

4

．…（12分）

點評：本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是歷年高考的必考題型．解題時要注意排列組合和概率知識的合理運用．