Question

如圖，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側(cè)棱與底面垂直，AB=BC=2AA₁，∠ABC=90°，M是BC中點．
（Ⅰ）求證：A₁B∥平面AMC₁；
（Ⅱ）求直線CC₁與平面AMC₁所成角的正弦值；
（Ⅲ）試問：在棱A₁B₁上是否存在點N，使AN與MC₁成角60°？若存在，確定點N的位置；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）證明線面平行，可以利用線面平行的判定定理，只要證明 A₁B∥OM可；
（Ⅱ）可判斷BA，BC，BB₁兩兩垂直，建立空間直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)表示點與向量，求得平面AMC₁的法向量、直線CC₁的闡釋，向量，代入向量夾角公式，可求直線CC₁與平面AMC₁所成角的正弦值；
（Ⅲ）假設(shè)存在滿足條件的點N，根據(jù)AN與MC₁成60°角，利用向量的數(shù)量積，可得結(jié)論．

解答：證明：（Ⅰ）連接A₁C，交AC₁于點O，連接OM．
∵ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，
∴四邊形ACC₁A₁為矩形，O為A₁C的中點．
又∵M(jìn)為BC中點，
∴OM為△A₁BC中位線，
∴A₁B∥OM，
∵OM?平面AMC₁，A₁B?平面AMC₁，
所以 A₁B∥平面AMC₁．…（4分）
解：（Ⅱ）由ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，且∠ABC=90°，
故BA，BC，BB₁兩兩垂直．可建立如圖空間直角坐標(biāo)系B-xyz．
設(shè)BA=2，則B（0，0，0），C（2，0，0），A（0，2，0），C₁（2，0，1），M（1，0，0）．
則

AM

=（1，-2，0），

AC1

=（2，-2，1），
設(shè)平面AMC₁的法向量為

m

=（x，y，z），則有

m • AM =0 m • AC1 =0

，即

x-2y=0 2x-2y+z=0

所以取y=1，得

m

=（2，1，-2）．
又∵

CC1

=（0，0，1）
∴直線CC₁與平面AMC₁所成角θ滿足
sinθ=

| CC1 • m |

| CC1 |•| m |

=

2

3

故直線CC₁與平面AMC₁所成角的正弦值為

2

3

解：（Ⅲ）假設(shè)存在滿足條件的點N．
∵N在線段A₁B₁上，A₁（0，2，1），B₁（0，0，1），
故可設(shè)N（0，λ，1），其中0≤λ≤2．
∴

AN

=（0，λ-2，1），

MC1

=（1，0，1）．
∵AN與MC₁成60°角，
∴

| DC1 • AN |

| DC1 |•| AN |

=

1

(λ-2)2+1 • 2

=

1

2

．
即，解得λ=1，或λ=3（舍去）．
所以當(dāng)點N為線段A₁B₁中點時，AN與MC₁成60°角．…（12分）

點評：本題考查線面平行，考查線面夾角，考查存在性問題的探究，解題的關(guān)鍵是掌握線面平行的判定定理，正確運(yùn)用向量的方法解決線面角、線線角．