Question

過拋物線C：y²=2px（p＞0）上的點M分別向C的準線和x軸作垂線，兩條垂線及C的準線和x軸圍成邊長為4的正方形，點M在第一象限．
（1）求拋物線C的方程及點M的坐標；
（2）過點M作傾斜角互補的兩條直線分別與拋物線C交與A、B兩點，且直線AB過點（0，-1），求△MAB的面積．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題,拋物線的標準方程,直線與圓錐曲線的關系

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）拋物線C的準線x=-

p

2

，依題意M（4-

p

2

，4），則4²=2p（4-

p

2

），即可求拋物線C的方程及點M的坐標；
（2）求出線AB的方程，與拋物線方程聯立，求出|AB|、點M到直線AB的距離，即可求△MAB的面積．

解答： 解：（1）拋物線C的準線x=-

p

2

，依題意M（4-

p

2

，4），
則4²=2p（4-

p

2

），解得p=4．
故拋物線C的方程為y²=8x，點M的坐標為（2，4），…（4分）
（2）設A（

y 2 1

8

，y₁），B（

y 2 2

8

，y₂）．
直線MA的斜率k₁=

y1-4

y 2 1 8 - y 2 2 8

=

8

y1+4

，同理直線MB的斜率k₂=

8

y2+4

．
由題設有

8

y1+4

+

8

y2+4

=0，整理得y₁+y₂=-8．
直線AB的斜率k=

y1-y2

y 2 1 8 - y 2 2 8

=

8

y1+y2

=-1．…（8分）
于是直線AB的方程為y=-x-1．
由

y2=8x y=-x-1

得y²+8y+8=0．
|y₁-y₂|=

(y1+y2)2-4y1y2

=4

2

，
于是|AB|=

2

|y₁-y₂|=8．…（10分）
點M到直線AB的距離d=

|2+4+1|

2

=

7 2

2

，
則△MAB的面積S=

1

2

|AB|•d=14

2

．…（12分）

點評：本題考查拋物線方程，考查直線與拋物線的位置關系，考查三角形面積的計算，屬于中檔題．