Question

定義在R上的函數(shù)f （x）的圖象關(guān)于點（-

3

4

，0）對稱，且滿足f （x）=-f （x+

3

2

），f （1）=1，f （0）=-2，則f （1）+f （2）+f （3）+…+f （2010）的值為=

 

．

Answer 1

分析：根據(jù)題意得f （x+3）=f[（x+

3

2

）+

3

2

]=-f （x+

3

2

）=f （x）即函數(shù)的周期為3．由函數(shù)f （x）的圖象關(guān)于點（-

3

4

，0）對稱得到f （-

3

2

-x）=f （x+

3

2

），所以可得函數(shù)f（x）是偶函數(shù)．結(jié)合奇偶性、周期性可得答案．

解答：解：由f （x）=-f （x+

3

2

）得f （x+3）=f[（x+

3

2

）+

3

2

]=-f （x+

3

2

）=f （x）
所以可得f （x）是最小正周期T=3的周期函數(shù)；
由f （x）的圖象關(guān)于點（-

3

4

，0）對稱，知（x，y）的對稱點是（-

3

2

-x，-y）．
即若y=f （x），則必-y=f （-

3

2

-x），或y=-f （-

3

2

-x）．
而已知f （x）=-f （x+

3

2

），故f （-

3

2

-x）=f （x+

3

2

），
今以x代x+

3

2

，得f （-x）=f （x），故知f （x）又是R上的偶函數(shù)．
于是有：f （1）=f （-1）=1；f （2）=f （2-3）=f （-1）=1；f （3）=f （0+3）=f （0）=-2；
∴f （1）+f （2）+f （3）=0，以下每連續(xù)3項之和為0．
而2010=3×670，于是f （2010）=0；
故答案為0．

點評：解決此類問題的關(guān)鍵是周期利用函數(shù)的對稱性與周期性得到函數(shù)是偶函數(shù)，再結(jié)合著函數(shù)的三個性質(zhì)求解問題，高考經(jīng)�？疾檫@種周期性、單調(diào)性、奇偶性、對稱性相結(jié)合的綜合問題．