Question

設函數(shù)y=f（x+1）是定義在（-∞，0）∪（0，+∞）上的偶函數(shù)，在區(qū)間（-∞，0）是減函數(shù)，且圖象過點（1，0），則不等式（x-1）f（x）≤0的解集為（ ）
A．（-∞，0）∪[2，+∞）
B．（-2，0）∪[2，+∞）
C．（-∞，0]∪（1，2]
D．（-∞，0）∪（1，2）

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)不等式（x-1）f（x）≤0，由積商符號法則，得到f（x）≥0，或f（x）≤0，根據(jù)函數(shù)y=f（x+1）是定義在（-∞，0）∪（0，+∞）上的偶函數(shù)，在區(qū)間（-∞，0）是減函數(shù)，得到函數(shù)f（x）的對稱性和單調(diào)性，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式f（x）≥0，或f（x）≤0．
解答：解：∵函數(shù)y=f（x+1）是定義在（-∞，0）∪（0，+∞）上的偶函數(shù)，
∴函數(shù)f（x）的圖象關于直線x=1對稱，
又∵函數(shù)y=f（x+1）在區(qū)間（-∞，0）是減函數(shù)，
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，1）是減函數(shù)，在區(qū)間（1，+∞）是增函數(shù)，
又f（2）=0
∴f（0）=0
∴當x＞1時，f（x）≤0=f（2）
∴1＜x≤2
當x＜1時，f（x）≥0=f（0）
∴x≤0，∴x≤0．
綜上x≤0或1＜x≤2．
故選C．
點評：考查函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，以及函數(shù)圖象的平移和根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性把函數(shù)值不等式轉(zhuǎn)化為自變量不等式，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、運動變化和分類討論的思想方法，屬中檔題．