公差d≠0的等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知，．
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an及其前n項(xiàng)和Sn；
（2）記，若自然數(shù)η1，η2，…，ηk，…滿足1≤η1＜η2＜…＜ηk＜…，并且成等比數(shù)列，其中η1=1，η2=3，求ηk（用k表示）；
（3）記，試問：在數(shù)列{cn}中是否存在三項(xiàng)cr，cs，ct（r＜s＜t，r，s，t∈N*）恰好成等比數(shù)列？若存在，求出此三項(xiàng)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
解：（1）∵，，
∴d=2
所以，

（2）由題意，bn=2n，首項(xiàng)b1=2，
又?jǐn)?shù)列的公比
∴，
又，
∴ηk=3 k﹣1
（3）易知，假設(shè)存在三項(xiàng)cr，cs，ct成等比數(shù)列，則
cs2=crct，
即，
整理得
①當(dāng)2s﹣r﹣t≠0時(shí)，，
∵r，s，t∈N*，
∴是有理數(shù)，
這與為無理數(shù)矛盾
②當(dāng)2s﹣r﹣t=0時(shí)，則rt+r+t﹣s2﹣2s=0，從而
，
解得r=t，這與r＜t矛盾．
綜上所述，不存在滿足題意的三項(xiàng)cr，cs，ct
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（Ⅰ）已知函數(shù)f(x)=
x
x+1
．?dāng)?shù)列{an}滿足：an＞0，a1=1，且
an+1
=f(
an
)，記數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn=
2
2
[
1
an
+(
2
+1)n]．求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式；并判斷b4+b6是否仍為數(shù)列{bn}中的項(xiàng)？若是，請(qǐng)證明；否則，說明理由．
（Ⅱ）設(shè){cn}為首項(xiàng)是c1，公差d≠0的等差數(shù)列，求證：“數(shù)列{cn}中任意不同兩項(xiàng)之和仍為數(shù)列{cn}中的項(xiàng)”的充要條件是“存在整數(shù)m≥-1，使c1=md”．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

公差d≠0的等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知a1=2+
2
，S3=12+3
2
．
（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an及其前n項(xiàng)和Sn；
（Ⅱ）記bn=an-
2
，若自然數(shù)η1，η2，…，ηk，…滿足1≤η1＜η2＜…＜ηk＜…，并且bη1，bη2，…，bη_，…成等比數(shù)列，其中η1=1，η2=3，求ηk（用k表示）；
（Ⅲ）記cn=
Sn
n
，試問：在數(shù)列{cn}中是否存在三項(xiàng)cr，cs，ct（r＜s＜t，r，s，t∈N*）恰好成等比數(shù)列？若存在，求出此三項(xiàng)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

5、由公差d≠0的等差數(shù)列a1，a2，…，an，…組成一個(gè)數(shù)列a1+a3，a2+a4，a3+a5，…，下列說法正確的是（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若{an}是公差d≠0的等差數(shù)列，通項(xiàng)為an，{bn}是公比q≠1的等比數(shù)列，已知a1=b1=1，且a2=b2，a6=b3．
（1）求d和q．
（2）是否存在常數(shù)a，b，使對(duì)一切n∈N*都有an=logabn+b成立，若存在求之，若不存在說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

記公差d≠0的等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知a1=2+
2
，S3=12+3
2
．
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an及前n項(xiàng)和Sn；
（2）記bn=an-
2
，若自然數(shù)n1，n2，…，nk，…滿足1≤n1＜n2＜…＜nk＜…，并且b n1，b n2，…，b nk，…成等比數(shù)列，其中n1=1，n2=3，求nk（用k表示）；
（3）試問：在數(shù)列{an}中是否存在三項(xiàng)ar，as，at（r＜s＜t，r，s，t∈N*）恰好成等比數(shù)列？若存在，求出此三項(xiàng)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

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