Question

已知橢圓（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)為F₂（3，0），離心率為e．
（Ⅰ）若，求橢圓的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線y=kx與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，若，且，求k的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（I）先根據(jù)橢圓方程，根據(jù)條件列出關(guān)于a，b，c的方程，求出a，b，c即可得到結(jié)論．
（II）因?yàn)橹本�和橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，所以兩方程聯(lián)立化成關(guān)于x的一元二次方程，可運(yùn)用設(shè)而不求的辦法把設(shè)出的A，B點(diǎn)的坐標(biāo)代入向量的數(shù)量積公式，求出k關(guān)于a的函數(shù)表達(dá)式，進(jìn)一步整理后求出函數(shù)的值域即可．
解答：解：（I）由題得：c=3，=⇒a=2，b=．
故橢圓方程為；
（II）由得（b²+a²k²）x²-a²b²=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），∴x₁+x₂=0，x₁x₂=，又=（3-x₁，-y₁），
=（3-x₂，-y₂），∴=（1+k²）x₁x₂+9=0，即，
∴k²==-1-，
∵＜e≤，
∴2≤a≤3，12≤a²≤18，
∴k²，即 k∈（-∞，-]∪[，+∞）．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查橢圓的基本性質(zhì)，考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系，考查了學(xué)生的運(yùn)算能力，一般涉及直線與圓錐曲線的交點(diǎn)問(wèn)題，常利用方程思想．此題是中檔題．