Question

已知函數f（x）=lg（4-k•2^x），（其中k實數）
（Ⅰ）求函數f（x）的定義域；
（Ⅱ）若f（x）在（-∞，2]上有意義，試求實數k的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據真數大于零，可由4-k2^x＞0求得函數的定義域，要注意分類討論．
（Ⅱ）f（x）在（-∞，2]上有意義，即對任意x∈（-∞，2]不等式4-k2^x＞0恒成立可轉化為k＜

4

2x

x∈（-∞，2]恒成立求解，只需求得u=

4

2x

的最小值即可．

解答：解：（Ⅰ）由題意可知：4-k2^x＞0（2分）
即解不等式：k2^x＜4（3分）
當k≤0，不等式的解為R（5分）
當k＞0，不等式的解為x＜log2

4

k

（7分）
所以當k≤0f（x）的定義域為R；
當k＞0f（x）的定義域為(-∞，log2

4

k

)（8分）
（Ⅱ）由題意可知：對任意x∈（-∞，2]不等式4-k2^x＞0恒成立（10分）
得k＜

4

2x

（12分）
又x∈（-∞，2]，u=

4

2x

的最小值1．（14分）
所以符合題意的實數K的范圍是（-∞，1）（15分）

點評：本題主要考查函數定義域的求法及定義域的應用，定義域常見類型有分式函數，根式函數，基本函數的定義域等．