Question

(本題滿分12分)

已知橢圓的左、右焦點(diǎn)為，過點(diǎn)斜率為正數(shù)的直線交兩點(diǎn)，且成等差數(shù)列。

（Ⅰ）求的離心率；

（Ⅱ）若直線y=kx（k<0）與交于C、D兩點(diǎn)，求使四邊形ABCD面積S最大時(shí)k的值。[來(lái)源:學(xué)*科*網(wǎng)Z*X*X*K]

 

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）根據(jù)橢圓定義及已知條件，有

|AF₂|＋|AB|＋|BF₂|＝4a，                                                                   ①

|AF₂|＋|BF₂|＝2|AB|，                                                                        ②

|AF₂|²＋|AB|²＝|BF₂|²，                                                                      ③…3分

由①、②、③，解得|AF₂|＝a，|AB|＝a，|BF₂|＝a，

所以點(diǎn)A為短軸端點(diǎn)，b＝c＝a，Γ的離心率e＝＝．…………………5分

（Ⅱ）由（Ⅰ），Γ的方程為x²＋2y²＝a²．                              

不妨設(shè)C(x₁，y₁)、D(x₂，y₂)（x₁＜x₂），

則C、D坐標(biāo)滿足

由此得x₁＝－，x₂＝．

設(shè)C、D兩點(diǎn)到直線AB：x－y＋a＝0的距離分別為d₁、d₂，

因C、D兩點(diǎn)在直線AB的異側(cè)，則

d₁＋d₂＝＋＝

＝＝＝．………………………8分

∴S＝|AB|( d₁＋d₂)＝·a·＝·．

設(shè)t＝1－k，則t＞1，＝＝，

當(dāng)＝，即k＝－時(shí)，最大，進(jìn)而S有最大值．……………………12分

 

【解析】略