Question

如圖，多面體ABC－A1B1C1中，三角形ABC是邊長為4的正三角形，AA1∥BB1∥CC1，AA1⊥平面ABC，AA1＝BB1＝2CC1＝4.

(1)若O是AB的中點，求證：OC1⊥A1B1；

(2)在線段AB1上是否存在一點D，使得CD∥平面A1B1C1，若存在，確定點D的位置；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

（1）見解析（2）點D是AB1的中點

【解析】(1)證明：取線段A1B1的中點E，連接OE，C1E，CO，

已知等邊三角形ABC的邊長為4，AA1＝BB1＝2CC1＝4，AA1⊥平面ABC，AA1∥BB1∥CC1，

∴四邊形AA1B1B是正方形，OE⊥AB，CO⊥AB，

又∵CO∩OE＝O，

∴AB⊥平面EOCC1，

又A1B1∥AB，OC1?平面EOCC1，故OC1⊥A1B1，

(2)設OE∩AB1＝D，則點D是AB1的中點，

∴ED∥AA1，ED＝AA1，

又∵CC1∥AA1，CC1＝AA1，

∴四邊形CC1ED是平行四邊形，∴CD∥C1E.

∵CD?平面A1B1C1，C1E?平面A1B1C1，∴CD∥平面A1B1C1，

即存在點D使得CD∥平面A1B1C1，點D是AB1的中點．