Question

（本小題滿分12）如圖①在直角梯形ABCP中，BC∥AP，AB⊥BC，CD⊥AP，AD=DC=PD=2，E，F(xiàn)，G分別是線段PC、PD，BC的中點(diǎn)，現(xiàn)將ΔPDC折起，使PD⊥平面ABCD（如圖②）

（1）求證AP∥平面EFG；

（2）求平面EFG與平面PDC所成角的大��；

（3）求點(diǎn)A到平面EFG的距離。

 

Answer 1

【答案】

解法一：（Ⅰ）如圖. 以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線DA、DC、DP分別為與z軸建立空間直角坐標(biāo)系：                                    

則     

     

設(shè)平面GEF的法向量，由法向量的定義得：

不妨設(shè) z=1，   則              

     ，點(diǎn)P 平面EFG

∴AP∥平面EFG   

（Ⅱ）由（Ⅰ）知平面GEF的法向量          ，

因平面EFD與坐標(biāo)平面PDC重合 ，則它的一個(gè)法向量為=（1，0，0）

設(shè)平面間的夾角為.    則       

故夾角的大小為45°。

（Ⅲ） ，  

解法二：（1）∵EF∥CD∥AB，EG∥PB，根據(jù)面面平行的判定定理

∴平面EFG∥平面PAB，又PA面PAB，∴AP∥平面EFG

（2）∵平面PDC⊥平面ABCD，AD⊥DC

∴AD⊥平面PCD，而B(niǎo)C∥AD，∴BC⊥面EFD

過(guò)C作CR⊥EF交EF延長(zhǎng)線于R點(diǎn)連GR，根據(jù)三垂線定理知

∠GRC即為二面角的平面角，∵GC=CR，∴∠GRC=45°，

故平面間的夾角大小為45°。   （3）同上

 

【解析】略