Question

已知f（x）=|2x-1|-|x+1|．
（Ⅰ）求f（x）＞x解集；
（Ⅱ）若a+b=1，對?a，b∈（0，+∞），

1

a

+

4

b

≥|2x-1|-|x+1|恒成立，求x的取值范圍．

Answer 1

考點：絕對值不等式的解法

專題：不等式的解法及應用

分析：（Ⅰ）依題意，對自變量x的取值范圍分類討論，去掉絕對值符號，即可求得f（x）＞x解集；
（Ⅱ）首項利用基本不等式求得

1

a

+

4

b

≥9，再通過對x的范圍分類討論，解絕對值不等式|2x-1|-|x+1|≤9即可．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=|2x-1|-|x+1|=

-x+2，x＜-1 -3x，-1≤x≤ 1 2 x-2，x＞ 1 2

．
∵f（x）＞x，
∴當x＜-1時，-x+2＞x，解得x＜1，故x＜-1；
當-1≤x≤

1

2

時，-3x＞x，解得x＜0，故-1≤x＜0；
當x＞

1

2

時，x-2＞x，該不等式無解；
綜上所述，f（x）＞x解集為{x|x＜0}；
（Ⅱ）∵a+b=1，對?a，b∈（0，+∞），（a+b）（

1

a

+

4

b

）=5+

b

a

+

4a

b

≥9，
∴|2x-1|-|x+1|≤9，
當x＜-1時，1-2x+x+1≤9，解得-7≤x＜-1；
當-1≤x≤

1

2

時，-3x≤9，解得x≥-3，故-1≤x≤

1

2

；
當x＞

1

2

時，x-2≤9，解得

1

2

＜x≤11．
綜上所述，-7≤x≤11，即x的取值范圍為[-7，11]．

點評：本題考查絕對值不等式的解法，著重考查分類討論思想與等價轉化思想的綜合運用，考查恒成立問題及基本不等式與集合的運算，屬于中檔題．