Question

（2008•普陀區(qū)二模）經濟學中有一個用來權衡企業(yè)生產能力（簡稱“產能”）的模型，稱為“產能邊界”．它表示一個企業(yè)在產能最大化的條件下，在一定時期內所能生產的幾種產品產量的各種可能的組合．例如，某企業(yè)在產能最大化條件下，一定時期內能生產A產品x臺和B產品y臺，則它們之間形成的函數y=f（x）就是該企業(yè)的“產能邊界函數”．現假設該企業(yè)的“產能邊界函數”為y=15

1600-2x

（如圖）．
（1）試分析該企業(yè)的產能邊界，分別選用①、②、③中的一個序號填寫下表：

點Pi（x，y）對應的產量組合	實際意義
P1（350，450）	③
P2（200，300）
P3（500，400）
P4（408，420）

①這是一種產能未能充分利用的產量組合；
②這是一種生產目標脫離產能實際的產量組合；
③這是一種使產能最大化的產量組合．
（2）假設A產品每臺利潤為a（a＞0）元，B產品每臺利潤為A產品每臺利潤的2倍．在該企業(yè)的產能邊界條件下，試為該企業(yè)決策，應生產A產品和B產品各多少臺才能使企業(yè)從中獲得最大利潤？

Answer 1

分析：（1）將四個點的坐標分別代入，P₁（350，450）代入，滿足函數關系式，所以是一種使產能最大化的產量組合，其它一一加以計算并驗證可得答案；
（2）先構建函數f(x)=ax+30a

1600-2x

，再用換元法，轉化為二次函數，從而求出答案．

解答：解：（1）將P₁（350，450）代入，滿足函數關系式，所以是一種使產能最大化的產量組合；
同理P₂（200，300）一種生產目標脫離產能實際的產量組合；
P₃（500，400），P₄（408，420）是一種產能未能充分利用的產量組合；
（2）設生產A產品x臺，B產品y臺，f(x)=ax+30a

1600-2x

，令

1600-2x

=t（0≤t≤40）
則  f(t)=-

a

2

(t-30)2+1250a，∴t=30利潤最大，∴x=350，y=450

點評：本題主要考查函數模型的利用，考查函數最值問題，應注意與實際問題相聯系．