精英家教網(wǎng)如圖,一矩形鐵皮的長為8cm,寬為5cm,在四個角上截去四個相同的小正方形,制成一個無蓋的小盒子,設(shè)小正方形的邊長為多少時,盒子容積最大?最大值為多少?
分析:設(shè)小正方形的邊長為xcm,則盒子容積為:y=(8-2x)•(5-2x)•x為三次函數(shù),用求導(dǎo)法,可得x=1時,函數(shù)y取得最大值,此時盒子容積最大.
解答:解:設(shè)小正方形的邊長為xcm,則x∈(0,
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);
盒子容積為:y=(8-2x)•(5-2x)•x=4x3-26x2+40x,
對y求導(dǎo),得y=12x2-52x+40,令y=0,得12x2-52x+40=0,解得:x=1,x=
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(舍去),
所以,當(dāng)0<x<1時,y>0,函數(shù)y單調(diào)遞增;當(dāng)1<x<
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時,y<0,函數(shù)y單調(diào)遞減;
所以,當(dāng)x=1時,函數(shù)y取得最大值18;
所以,小正方形的邊長為1cm,盒子容積最大,最大值為18cm3
點評:本題考查了簡單的三次函數(shù)模型的應(yīng)用,利用求導(dǎo)法求得三次函數(shù)在其定義域上的最值問題,是中檔題.
練習(xí)冊系列答案
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