Question

已知函數(shù)f(x)=1+x-

x2

2

+

x3

3

-

x4

4

+…+

x2011

2011

，g(x)=1-x+

x2

2

-

x3

3

+

x4

4

-…-

x2011

2011

，設(shè)F（x）=f（x+3）•g（x-3），且函數(shù)F（x）的零點均在區(qū)間[a，b]（a＜b，a，b∈Z）內(nèi)，則b-a的最小值為

 

．

Answer 1

分析：利用導(dǎo)數(shù)分別求出函數(shù)f（x）、g（x）的零點所在的區(qū)間，f′（x）＞0，因此f（x）是R上的增函數(shù)，且f（0）=1＞0，f（-1）=-

1

2

-

1

3

-

1

4

-…-

1

2011

＜0，g′（x）＜0，因此g（x）是R上的減函數(shù)，且g（1）=

1

2

-

1

3

+

1

4

-…-

1

2011

＞0，g（2）=1-2+2-

8

3

+…-

22011

2011

＜0，函數(shù)f（x）在（-1，0）上有一個零點；函數(shù)g（x）在（1，2）上有一個零點，，然后要求F（x）=f（x+3）•g（x-3）的零點所在區(qū)間，即求f（x+3）的零點和g（x-3）的零點所在區(qū)間，根據(jù)圖象平移即可求得結(jié)果．

解答：解：f′（x）=1-x+x²-x³+…+x²⁰¹⁰=

1     x=1 1- x2011 1-x  x≠1

，
∴f′（x）＞0，因此f（x）是R上的增函數(shù)，
且f（0）=1＞0，f（-1）=-

1

2

-

1

3

-

1

4

-…-

1

2011

＜0，
∴函數(shù)f（x）在（-1，0）上有一個零點；
g′（x）=-1+x-x²+x³-…-x²⁰¹⁰=

-1     x=1 - 1-x2011 1-x  x≠1

，
∴g′（x）＜0，因此g（x）是R上的減函數(shù)，且g（1）=

1

2

-

1

3

+

1

4

-…-

1

2011

＞0，
g（2）=1-2+2-

8

3

+…-

22011

2011

＜0，
∴函數(shù)g（x）在（1，2）上有一個零點，
∵F（x）=f（x+3）•g（x-3），且函數(shù)F（x）的零點均在區(qū)間[a，b]（a＜b，a，b∈Z）內(nèi)，
∴f（x+3）的零點在（-4，-3）內(nèi)，g（x-3）的零點在（4，5）內(nèi)，
因此F（x）=f（x+3）•g（x-3）的零點均在區(qū)間[-4，5]內(nèi)，
∴b-a的最小值為9．
故答案為：9．

點評：此題是難題．考查函數(shù)零點判定定理和利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性以及數(shù)列求和問題以及函數(shù)圖象的平移，體現(xiàn)了分類討論的思想，以及學生靈活應(yīng)用知識分析解決問題的能力．