Question

已知直線x=-1的方向向量為及定點F（1，0），動點M，N，G滿足-=0，+=2，•（-）=0，其中點N在直線l上．
（1）求動點M的軌跡C的方程；
（2）設(shè)A、B是軌跡C上異于原點O的兩個不同動點，直線OA和OB的傾斜角分別為α和β，若α+β=θ為定值（0＜θ＜π），試問直線AB是否恒過定點，若AB恒過定點，請求出該定點的坐標，若AB不恒過定點，請說明理由．

Answer 1

解：（1）由題意知：MN⊥l|MF|=|MN|，
由拋物線的定義知，點M的軌跡為拋物線，
其中F（1，0）為焦點，x=-1為準線，
所以軌跡方程為y²=4x；
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由題意得x₁≠x₂（否則α+β=π）且x₁•x₂≠0，
所以AB的斜率存在，設(shè)其方程為y=kx+b，
顯然，
聯(lián)立，消去x得到：，
由根與系數(shù)關(guān)系得：①
1）當時，即時，tanα•tanβ=1，
所以，

所以y₁y₂=16，
由①知：，
所以b=4k因此直線AB的方程可表示為y=kx+4k，
∴直線AB恒過定點（-4，0）
2）當時，由α+β=θ，得=，
將①式代入上式整理化簡可得：，所以，
此時，直線AB的方程可表示為y=kx+，
∴直線AB恒過定點
∴當時，AB恒過定點（-4，0），
當時，．AB恒過定點
分析：（1）利用已知條件滿足的向量關(guān)系得到MN⊥l|MF|=|MN|，利用拋物線的定義判斷出M的軌跡是拋物線，根據(jù)拋物線方程與焦點坐標的關(guān)系寫出拋物線的方程．
（2）設(shè)出直線AB的方程，將直線方程與拋物線方程聯(lián)立利用韋達定理得到交點坐標滿足的關(guān)系，對θ分類討論，利用兩角和的正切公式及直線斜率的公式將α+β=θ轉(zhuǎn)化為坐標關(guān)系，表示出直線方程中的截距b，得到直線方程恒過的定點．
點評：求圓錐曲線的方程問題，一般利用待定系數(shù)法，注意橢圓中的三個參數(shù)的關(guān)系與雙曲線中的三個參數(shù)關(guān)系的區(qū)別；解決直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題，一般將直線的方程與圓錐曲線的方程聯(lián)立，利用韋達定理找突破口．