設(shè)函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）A＞0，ω＞0，|φ|＜
π
2
）的最高點(diǎn)D的坐標(biāo)為（
π
8
，2），由最高點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到相鄰最低點(diǎn)時(shí)，函數(shù)圖形與x的交點(diǎn)的坐標(biāo)為（
3π
8
，0）；
（1）求函數(shù)f（x）的解析式．
（2）當(dāng)x∈[-
π
4
，
π
4
]時(shí)，求函數(shù)f（x）的最大值和最小值以及分別取得最大值和最小值時(shí)相應(yīng)的自變量x的值．
（3）將函數(shù)y=f（x）的圖象向右平移
π
4
個(gè)單位，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，求函數(shù)y=g（x）的單調(diào)減區(qū)間．
分析：（1）由三角函數(shù)解析式可知函數(shù)的平衡位置在x軸，所以最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)為A=2，又由于三角函數(shù)最高點(diǎn)與相鄰的和x軸的交點(diǎn)為周期的四分之一，即
T
4
=
3π
8
-
π
8
，借此求出周期后可求出ω的值，然后將點(diǎn)（
π
8
，2）代入函數(shù)解析式并結(jié)合|φ|＜
π
2
可求出φ的值．
（2）由題中x的范圍x∈[-
π
4
，
π
4
]可求出（1）中解析式里2x+
π
4
的范圍，然后結(jié)合正弦函數(shù)y=sinx相應(yīng)區(qū)間上的圖象可以確定當(dāng)2x+
π
4
=-
π
4
和2x+
π
4
=
π
2
時(shí)函數(shù)分別有最小值與最大值，并同時(shí)解出相應(yīng)x的取值即可．
（3）由于函數(shù)圖象左右平移改變的是橫坐標(biāo)，為此將函數(shù)y=f（x）的圖象向右平移
π
4
個(gè)單位后應(yīng)用函數(shù)解析式中的自變量x-
π
4
，即y=g（x）=2sin[2（x-
π
4
）+
π
4
]=2sin（2x-
π
2
），由于求的是函數(shù)g（x）的減區(qū)間，故用2x-
π
4
替換正弦函數(shù)的減區(qū)間即由2kπ+
π
2
≤2x-
π
2
≤2kπ+
3π
2
，k∈Z解出x后就是所求的減區(qū)間．
解答：解：（1）∵由最高點(diǎn)D（
π
8
，2）運(yùn)動(dòng)到相鄰最低點(diǎn)時(shí)，函數(shù)圖形與x軸的交點(diǎn)為（
3π
8
，0），所以周期的四分之一即
T
4
=
3π
8
-
π
8
=
π
4
，∴T=π，又T=
2π
ω
π，∴ω=2，因?yàn)楹瘮?shù)經(jīng)過點(diǎn)D的坐標(biāo)為（
π
8
，2），代入函數(shù)解析式得2sin（2×
π
8
+φ）=2，
所以2×
π
8
+φ=
π
2
+2kπ，k∈Z，即φ=zkπ+
π
4
，k∈Z，又|φ|＜
π
2
，所以φ=
π
4
，
∴函數(shù)的解析式為f（x）=2sin（2x+
π
4
）
（2）由（1）知f（x）=2sin（2x+
π
4
），當(dāng)x∈[-
π
4
，
π
4
]，2x+
π
4
∈[-
π
4
，
3π
4
]
所以2x+
π
4
=-
π
4
，即x=-
π
4
時(shí)；函數(shù)f（x）有最小值-
2

2x+
π
4
=
π
2
，即x=
π
8
時(shí)；函數(shù)f（x）有最大值2
（3）由題意g（x）=f（x-
π
4
）=2sin[2（x-
π
4
）+
π
4
]，
∴g（x）=2sin（2x-
π
4
）因?yàn)檎液瘮?shù)y=sinx的減區(qū)間是[2kπ+
π
2
，2kπ+
3π
2
]，k∈Z
所以有2kπ+
π
2
≤2x-
π
4
≤2kπ+
3π
2
，k∈Z，解得kπ+
3π
8
≤x≤kπ+
7π
8
，k∈Z，
故函數(shù)g（x）的減區(qū)間為[kπ+
3π
8
，kπ+
7π
8
]，k∈Z，
點(diǎn)評：本題主要考查了復(fù)合角三角函數(shù)的解析式，最值以及圖象變換和單調(diào)區(qū)間的求法等問題，屬于復(fù)合角三角函數(shù)的性質(zhì)的綜合性命題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，當(dāng)x＜0時(shí)f（x）＞1，且對任意的實(shí)數(shù)x，y∈R，有f（x+y）=f（x）f（y）．?dāng)?shù)列{an}滿足f（an+1）=
1f(-2-an)
（n∈N*）
（Ⅰ）求f（0）的值，判斷并證明函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）如果存在t、s∈N*，s≠t，使得點(diǎn)（t，as）、（s，at）都在直線y=kx-1上，試判斷是否存在自然數(shù)M，當(dāng)n＞M時(shí)，a n＞f（0）恒成立？若存在，求出M的最小值，若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，當(dāng)x＜0時(shí)f（x）＞1，且對任意的實(shí)數(shù)x，y∈R，有f（x+y）=f（x）f（y）．?dāng)?shù)列{an}滿足f(an+1)=
1
f(-2-an)
(n∈N*)．
（Ⅰ）求f（0）的值，判斷并證明函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）如果存在t、s∈N*，s≠t，使得點(diǎn)（t，as）、（s，at）都在直線y=kx-1上，試判斷是否存在自然數(shù)M，當(dāng)n＞M時(shí)，an＞0恒成立？若存在，求出M的最小值，若不存在，請說明理由；
（Ⅲ）若a1=f（0），不等式
1
an+1
+
1
an+2
+…+
1
a2n
＞
12
35
(1+logf(1)x)對不小于2的正整數(shù)恒成立，求x的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）=
3x-1
x+1
．
（1）已知s=-t+
1
2
（t＞1），求證：f（
t-1
t
）=
s+1
s
；
（2）證明：存在函數(shù)t=φ（s）=as+b（s＞0），滿足f（
s+1
s
）=
t-1
t
；
（3）設(shè)x1=
11
17
，xn+1=f（xn），n=1，2，…．問：數(shù)列{
1
xn-1
}是否為等差數(shù)列？若是，求出數(shù)列{xn}中最大項(xiàng)的值；若不是，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2011-2012學(xué)年廣東省惠州一中高二（上）期中數(shù)學(xué)試卷（文科）（解析版） 題型：解答題

設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，當(dāng)x＜0時(shí)f（x）＞1，且對任意的實(shí)數(shù)x，y∈R，有f（x+y）=f（x）f（y）．?dāng)?shù)列{an}滿足f（an+1）=（n∈N*）
（Ⅰ）求f（0）的值，判斷并證明函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）如果存在t、s∈N*，s≠t，使得點(diǎn)（t，as）、（s，at）都在直線y=kx-1上，試判斷是否存在自然數(shù)M，當(dāng)n＞M時(shí)，a n＞f（0）恒成立？若存在，求出M的最小值，若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2011-2012學(xué)年廣東省惠州一中高二（上）期中數(shù)學(xué)試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，當(dāng)x＜0時(shí)f（x）＞1，且對任意的實(shí)數(shù)x，y∈R，有f（x+y）=f（x）f（y）．?dāng)?shù)列{an}滿足．
（Ⅰ）求f（0）的值，判斷并證明函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）如果存在t、s∈N*，s≠t，使得點(diǎn)（t，as）、（s，at）都在直線y=kx-1上，試判斷是否存在自然數(shù)M，當(dāng)n＞M時(shí)，an＞0恒成立？若存在，求出M的最小值，若不存在，請說明理由；
（Ⅲ）若a1=f（0），不等式對不小于2的正整數(shù)恒成立，求x的取值范圍．

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