Question

已知數列{a_n}的前n項和為S_n，且a_n是S_n與2的等差中項，數列{a_n}中，b₁=1，點P（b_n，
b_n+1）在直線x﹣y+2=0上．
（Ⅰ） 求數列{a_n}，{b_n}的通項公式a_n和b_n；
（Ⅱ） 設c_n=a_nb_n，求數列{c_n}的前n項和T_n．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵a_n是S_n與2的等差中項，
∴S_n=2a_n﹣2，①
∴a₁=S₁=2a₁﹣2，解得a₁=2
n≥2時，S_n﹣1=2a_n﹣1﹣2，②
①﹣②可得：a_n=2a_n﹣2a_n﹣1，
∴a_n=2a_n﹣1（n≥2），即數列{a_n}是等比數列
∴a_n=2ⁿ，
∵點P（b_n，b_n+1）在直線x﹣y+2=0上，
∴b_n﹣b_n+1+2=0，
∴b_n+1﹣b_n=2，即數列{b_n}是等差數列，
又b₁=1， ∴b_n=2n﹣1；
（Ⅱ）∵c_n=（2n﹣1）2ⁿ，
∴T_n=a₁b₁+a₂b₂+a_nb_n=1×2+3×2²+5×2³+…+（2n﹣1）2ⁿ，
∴2T_n=1×2²+3×2³+…+（2n﹣3）2ⁿ+（2n﹣1）2ⁿ⁺¹，
∴﹣T_n=1×2+（2×2²+2×2³+…+2×2ⁿ）﹣（2n﹣1）2ⁿ⁺¹，
即：﹣T_n=1×2+（2³+2⁴+…+2ⁿ⁺¹）﹣（2n﹣1）2ⁿ⁺¹，
∴T_n=（2n﹣3）2ⁿ⁺¹+6．