Question

已知函數(shù)f（x）=2cos²x+

3

sin2x-1．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（Ⅱ）將函數(shù)f（x）的圖象向右平移φ（0＜φ＜

π

2

）個單位，再將圖象上所有的點縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)伸長到原來的4倍，得到函數(shù)g（x）的圖象．若直線x=

4

3

π是函數(shù)g（x）的圖象的對稱軸，求φ的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用二倍角的余弦及輔助角公式可求得f（x）=2sin（2x+

π

6

），從而可求函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（Ⅱ）利用函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換及正弦函數(shù)的性質(zhì)可求得φ的值．

解答：解：（I）∵f（x）=2cos²x+

3

sin2x-1
=cos2x+

3

sin2x
=2（

3

2

sin2x+

1

2

cos2x）
=2sin（2x+

π

6

），
令2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，
得kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，k∈Z，
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]（k∈Z）．                
（II）將函數(shù)f（x）=2sin（2x+

π

6

）的圖象向右平移φ個單位，
得到函數(shù)f₁（x）=2sin[2（x-φ）+

π

6

]=2sin（2x-2φ+

π

6

）的圖象；
再將函數(shù)f₁（x）圖象上所有的點縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)伸長到原來的4倍，
得到函數(shù)g（x）=2sin（

1

2

x-2φ+

π

6

）的圖象．                                       
∵直線x=

4π

3

是函數(shù)g（x）的圖象的對稱軸，
∴2sin（

1

2

×

4π

3

-2φ+

π

6

）=±2，
即-2φ+

5π

6

=kπ+

π

2

，k∈Z，
得φ=-

kπ

2

+

π

6

，k∈Z，又0＜φ＜

π

2

，
∴φ=

π

6

．

點評：本題考查三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，著重考查函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換及正弦函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．