已知集合A是滿足下列性質(zhì)的函數(shù)f（x）的全體：存在非零常數(shù)k，對任意x∈D（D為函數(shù)的定義域）等式數(shù)學公式恒成立．
（1）一次函數(shù)f（x）=ax+b（a≠0）是否屬于集合A？請說明理由．
（2）設函數(shù)f（x）=logax（a＞1）的圖象與直線數(shù)學公式有公共點，試證明f（x）=logax∈A．

解：（1）∵一次函數(shù)f（x）=ax+b（a≠0），∴f（kx）=akx+b，而+f（x）=ax+b+．
顯然，akx+b和 ax+b+不可能恒成立，故一次函數(shù)f（x）=ax+b（a≠0）不屬于集合A．
（2）設函數(shù)f（x）=logax（a＞1）的圖象與直線有公共點，∴方程 logax=x 有解 ①．
要使f（x）∈A，則存在常數(shù)k，使loga（kx）=+logax 成立，即方程 logak=k 有解．
而由①可得方程 logak=k 有解，可得f（x）=logax∈A．
分析：（1）根據(jù)f（kx）=+f（x）不可能恒成立，可得一次函數(shù)f（x）不屬于集合A．
（2）要使f（x）∈A，則存在常數(shù)k，使方程 logak=k 有解．而由題意可得方程 logak=k 有解，從而可得f（x）=logax∈A．
點評：本題主要考查函數(shù)的恒成立問題，方程根的存在性和個數(shù)判斷，屬于中檔題．
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相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知集合M是滿足下列性質(zhì)的函數(shù)f（x）的全體：存在非零常數(shù)k，對定義域中的任意x，等式f（kx）=
k2
+f（x）恒成立．現(xiàn)有兩個函數(shù)：f（x）=ax+b（a≠0），g（x）=log2x，則函數(shù)f（x）、g（x）與集合M的關系為
f（x）∉M，g（x）∈M
f（x）∉M，g（x）∈M
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2007•閘北區(qū)一模）已知集合A是滿足下列性質(zhì)的函數(shù)f（x）的全體：存在非零常數(shù)k，對任意x∈D（D為函數(shù)的定義域）等式f(kx)=
k
2
+f(x)恒成立．
（1）一次函數(shù)f（x）=ax+b（a≠0）是否屬于集合A？請說明理由．
（2）設函數(shù)f（x）=logax（a＞1）的圖象與直線y=
1
2
x有公共點，試證明f（x）=logax∈A．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知集合M是滿足下列性質(zhì)的函數(shù)f（x）的全體：存在非零常數(shù)k，對定義域中的任意x，等式f（kx）=
k2
+f（x）恒成立．
（1）判斷一次函數(shù)f（x）=ax+b（a≠0）是否屬于集合M；
（2）證明函數(shù)f（x）=log2x屬于集合M，并找出一個常數(shù)k；
（3）已知函數(shù)f（x）=logax（ a＞1）與y=x的圖象有公共點，證明f（x）=logax∈M．

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科目：高中數(shù)學 來源：閘北區(qū)一模 題型：解答題

已知集合A是滿足下列性質(zhì)的函數(shù)f（x）的全體：存在非零常數(shù)k，對任意x∈D（D為函數(shù)的定義域）等式f(kx)=
k
2
+f(x)恒成立．
（1）一次函數(shù)f（x）=ax+b（a≠0）是否屬于集合A？請說明理由．
（2）設函數(shù)f（x）=logax（a＞1）的圖象與直線y=
1
2
x有公共點，試證明f（x）=logax∈A．

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