Question

在如圖所示的幾何體ABCED中，EC⊥面ABC，DB⊥面ABC，CE=CA=CB=2DB，∠ACB=90°，M為
AD的中點．（1）證明：EM⊥AB；（2）求直線BM和平面ADE所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（1）以C為原點建立如圖所示的空間直角坐標系，根據(jù)

EM

•

AB

=0，得到

EM

⊥

AB

，從而有 EM⊥AB．
（2）由（1）知

BM

 的坐標，求出面ADE的法向量為 

n

 的坐標，設(shè)直線BM和平面ADE所成角為θ，則sinθ=|cos＜

BM

，

n

＞=|

BM • n

| BM |•|  n |

|．

解答：解：（1）證明：以C為原點建立如圖所示的空間直角坐標系，設(shè)DB=1，則 CE=CA=CB=2．
由于A（2，0，0），B（0，2，0），E（0，0，2），D（0，2，1），M（1，1，

1

2

），∴

EM

=（1，1-

3

2

），

AB

=（-2，2，0），∴

EM

•

AB

=-2+2+0=0，∴

EM

⊥

AB

，∴EM⊥AB．
（2）由（1）知

BM

=（1，-1，

1

2

  ），

AD

=（-2，2，1），

AE

=（-2，0，2），

DE

=（0，-2，1）．
設(shè)面ADE的法向量為 

n

=（x，y，z），則 

n • AE = 0  n• DE  =0

，即

-2x+2z = 0 -2y+z = 0

，
取

n

=（2，1，2）設(shè)直線BM和平面ADE所成角為θ，則 sinθ=|cos＜

BM

，

n

＞=|

BM • n

| BM |•|  n |

|=

4

9

．

點評：本題考查兩個向量垂直的條件，兩個向量的夾角公式，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，注意本題中sinθ=|cos＜

BM

，

n

＞|．