Question

已知定義在實數(shù)集上的函數(shù)f_n（x）=xⁿ，n∈N^*，其導函數(shù)記為f_n′（x），且滿足，a，x₁，x₂為常數(shù)，x₁≠x₂．
（1）試求a的值；
（2）記函數(shù)F（x）=b•f₁（x）-lnf₃（x），x∈（0，e]，若F（x）的最小值為6，求實數(shù)b的值；
（3）對于（2）中的b，設函數(shù)，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁＜x₂）是函數(shù)g（x）圖象上兩點，若，試判斷x₀，x₁，x₂的大小，并加以證明．

Answer 1

解：（1）f₂（x）=x²，f₂′（x）=2x
依題意，，得，．
（2）F（x）=bx-3lnx，，x∈（0，e]，
①若，，F(xiàn)（x）在（0，e]上單調(diào)遞減，
F（x）的最小值是F（e），由a₁（x），a₂（x），a₃（x）得，（舍去）；
②若，，令F'（x）=0得，
當時，F(xiàn)'（x）＜0，F(xiàn)（x）在上單調(diào)遞減；
當時，F(xiàn)'（x）＞0，F(xiàn)（x）在上單調(diào)遞增；
所以F（x）的最小值是，由得，b=3e．
（3）g（x）=e^x，猜測x₁＜x₀＜x₂．
只需證，∵，
故只需證，
即證：，且，
設，h'（x）=-e^x（x-x₂），當x≤x₂時，h'（x）≥0，
∴h（x）在（-∞，x₂]上是增函數(shù)，
∵x₁＜x₂，∴h（x₁）＜h（x₂），即，
設，則φ'（x）=-e^x（x-x₁），當x≥x₁時，φ'（x）≤0，
∴φ（x）在[x₁，+∞）上是減函數(shù)，
∵x₁＜x₂，∴φ（x₁）＞φ（x₂），即．
綜上所述，x₁＜x₀＜x₂．
分析：（1）根據(jù)所給的函數(shù)，對函數(shù)求導，根據(jù)題意寫出滿足的關系式，求出字母系數(shù)的值．
（2）根據(jù)所給的函數(shù)，對函數(shù)求導，根據(jù)函數(shù)求最值的過程，先求出函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性做出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進一步做出函數(shù)的最值．
（3）先猜測三個變量的大小，要證三個變量之間的這種大小關系，只要構造新不等式，只需證，結合條件中所給的關系，利用函數(shù)的單調(diào)性得到結論．
點評：本題考查函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和單調(diào)性的應用，本題解題的關鍵是猜測和證明的過程非常重要，再者題目要證明一個不等式成立，題目做了鋪墊，始終根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)解題．