Question

已知函數(shù)f（x）=ln（e^x+a）（a＞0）．
（1）求函數(shù)y=f（x）的反函數(shù)y=f^-1（x）及f（x）的導(dǎo)數(shù)f′（x）；
（2）假設(shè)對(duì)任意x∈[ln（3a），ln（4a）]，不等式|m-f^-1（x）|+ln（f′（x））＜0成立，求實(shí)
數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）、設(shè)y=ln（e^x+a），a＞0，把y看作常數(shù)，解出x后把x，y互換就得到函數(shù)y=f（x）的反函數(shù)f^-1（x）．再由復(fù)合函數(shù)的求解法則解出f（x）的導(dǎo)數(shù)f′（x）．
（2）、由|m-f^-1（x）|+ln（f'（x））＜0得ln（e^x-a）-ln（e^x+a）+x＜m＜ln（e^x-a）+ln（e^x+a）-x．原不等式對(duì)于x∈[ln（3a），ln（4a）]恒成立等價(jià)于ln（e^x-a）-ln（e^x+a）+x＜ln（e^x-a）+ln（e^x+a）-x．再通過導(dǎo)數(shù)運(yùn)算和函數(shù)的單調(diào)性求出實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答：解：（1）、設(shè)y=ln（e^x+a），a＞0，則e^y=e^x+a，∴e^x=e^y-a，a＞0，∴x=ln（e^y-a），x，y互換得到函數(shù)y=f（x）的反函數(shù)f^-1（x）=ln（e^x-a），x∈R；f′（x）=

ex

ex+a

．
（2）、由|m-f^-1（x）|+ln（f'（x））＜0得ln（e^x-a）-ln（e^x+a）+x＜m＜ln（e^x-a）+ln（e^x+a）-x．
設(shè)?（x）=ln（e^x-a）-ln（e^x+a）+x，ψ（x）=ln（e^x-a）+ln（e^x+a）-x，
于是原不等式對(duì)于x∈[ln（3a），ln（4a）]恒成立等價(jià)于?（x）＜m＜ψ（x）．
由?′(x)=

ex

ex-a

-

ex

ex+a

+1，ψ′(x)=

ex

ex-a

+

ex

ex+a

-1，注意到0＜e^x-a＜e^x＜e^x+a，故有?'（x）＞0，ψ'（x）＞0，從而可?（x）與?（x）均在[ln（3a），ln（4a）]上單調(diào)遞增，因此不等式?（x）＜m＜ψ（x）成立當(dāng)且僅當(dāng)?（ln（4a））＜m＜ψ（ln（3a））．即ln(

12

5

a)＜m＜ln(

8

3

a).

點(diǎn)評(píng)：本題是對(duì)數(shù)函數(shù)、反函數(shù)和導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用題，考查反函數(shù)和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)，具有一定的難度．在解題時(shí)要注意轉(zhuǎn)化思想的靈活運(yùn)用．