Question

奇函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，0）上單調遞減，且f（2）=0，則不等式（x-1）f（x+1）＞0的解集為（　�。�

A．（-2，-1）∪（1，2）

B．（-3，1）∪（2，+∞）

C．（-3，-1）

D．（-2，0）∪（2，+∞）

Answer 1

分析：由題意可得 f （2）=0，且在（0，+∞）上單調遞減，故當x＜-2或0＜x＜2 時，f（x）＞0，當-2＜x＜0或x＞2時，f（x）＞0．由此易求得（x-1）•f（x+1）＞0的解集．

解答：解：∵函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，在區(qū)間（-∞，0）上單調遞減，且f （2）=0，
∴f （-2）=-f（2）=0，且在（0，+∞）上單調遞減
故當x＜-2或0＜x＜2 時，f（x）＞0，當-2＜x＜0或x＞2時，f（x）＞0．
由不等式（x-1）•f（x+1）＞0可得x-1與f（x+1）同號．
∴

x-1＞0 f(x+1)＞0

或

x-1＜0 f(x+1)＜0

∴

x＞1 x+1＜-2或0＜x+1＜2

或

x-1＜0 x+1＞2或-2＜x+1＜0

解不等式可得，-3＜x＜-1
∴不等式的解集為 （-3，-1）
故選C

點評：本題主要考查函數(shù)的單調性和奇偶性的綜合應用，體現(xiàn)了轉化的數(shù)學思想，判斷出當x＜-2或0＜x＜2 時，f（x）＞0，當-2＜x＜0或x＞2時，f（x）＞0，是解題的關鍵．