Question

甲有一個裝有x個紅球、y個黑球的箱子，乙有一個裝有a個紅球、b個黑球的箱子，兩人各自從自己的箱子里任取一球，并約定：所取兩球同色時甲勝，異色時乙勝（a，b，x，y∈N^*）．
（Ⅰ）當x=y=3，a=3，b=2，時，求甲獲勝的概率；
（Ⅱ）當x+y=6，a=b=3時，規(guī)定：甲取紅球獲勝得3分；取黑球獲勝得1分；甲負得0分．求甲的得分期望達到最大時的x，y值；
（Ⅲ）當x=a，y=b時，這個游戲規(guī)則公平嗎？請說明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）由題意，甲、乙都取紅球的概率，
甲、乙都取黑球的概率，∴甲獲勝的概．…（3分）
（Ⅱ）令ξ表示甲的分數(shù)，則ξ的取值為0，1，3，，，，

ξ	0	1	3
P

得ξ的分布列如下：
于是；
又x，y∈N^*且x+y=6，∴1≤x≤5，且
故當x=5，y=1時，Eξ的最大值為． …（7分）
（Ⅲ）由題意，兩人各自從自己的箱子里任取一球比顏色共有C_x+y¹•C_x+y¹=（x+y）²種不同情形，
每種情形都是等可能的，記甲獲勝為事件A，乙獲勝為事件B，則，，
∴，
當x=y時，P（A）=P（B），甲、乙獲勝的概率相等，這個游戲規(guī)則是公平的；
當x≠y時，P（A）＞P（B），甲獲勝的概率大于乙獲勝的概率，這個游戲規(guī)則不公平，有利于甲．
…（12分）
分析：（I）根據(jù)等可能事件的概率公式分別求出甲、乙都取紅球與甲、乙都取黑球的概率，然后將兩概率相加即可求出甲勝的概率；
（II）令ξ表示甲的分數(shù)，則ξ的取值為0，1，3，然后求出對應(yīng)的概率，求出ξ的期望，最后根據(jù)x，y∈N^*且x+y=6，1≤x≤5，可求出Eξ的最大值；
（III）兩人各自從自己的箱子里任取一球比顏色共有C_x+y¹•C_x+y¹=（x+y）²種不同情形，每種情形都是等可能的，然后分別求出甲獲勝與乙獲勝的概率表達式，作差討論可判定這個游戲規(guī)則是否公平．
點評：本題主要考查了等可能事件的概率，以及散型隨機變量的期望，同時考查了分析問題的能力，屬于中檔題．