【題目】已知函數(shù)f(x)=x2﹣2ax+5(a>1).
(1)若f(x)的定義域和值域均是[1,a],求實(shí)數(shù)a的值;
(2)若對(duì)任意的x1 , x2∈[1,a+1],總有|f(x1)﹣f(x2)|≤4,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
【答案】
(1)解:∵f(x)=(x﹣a)2+5﹣a2(a>1),
∴f(x)在[1,a]上是減函數(shù),又定義域和值域均為[1,a],
∴ ,
即 ,解得a=2
(2)解:若a≥2,又x=a∈[1,a+1],且,(a+1)﹣a≤a﹣1
∴f(x)max=f(1)=6﹣2a,f(x)min=f(a)=5﹣a2.
∵對(duì)任意的x1,x2∈[1,a+1],總有|f(x1)﹣f(x2)|≤4,
∴f(x)max﹣f(x)min≤4,即(6﹣2a)﹣(5﹣a2)≤4,解得﹣1≤a≤3,
又a≥2,∴2≤a≤3.
若1<a<2,fmax(x)=f(a+1)=6﹣a2,f(x)min=f(a)=5﹣a2,
f(x)max﹣f(x)min≤4顯然成立,綜上1<a≤3
【解析】(1)先將函數(shù)進(jìn)行配方得到對(duì)稱軸,判定出函數(shù)f(x)在[1,a]上的單調(diào)性,然后根據(jù)定義域和值域均為[1,a]建立方程組,解之即可;(2)將a與2進(jìn)行比較,將條件“對(duì)任意的x1 , x2∈[1,a+1],總有|f(x1)﹣f(x2)|≤4”轉(zhuǎn)化成對(duì)任意的x1 , x2∈[1,a+1],總有f(x)max﹣f(x)min≤4恒成立即可.
【考點(diǎn)精析】利用函數(shù)的定義域及其求法和函數(shù)的值域?qū)︻}目進(jìn)行判斷即可得到答案,需要熟知求函數(shù)的定義域時(shí),一般遵循以下原則:①是整式時(shí),定義域是全體實(shí)數(shù);②是分式函數(shù)時(shí),定義域是使分母不為零的一切實(shí)數(shù);③是偶次根式時(shí),定義域是使被開方式為非負(fù)值時(shí)的實(shí)數(shù)的集合;④對(duì)數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于零,當(dāng)對(duì)數(shù)或指數(shù)函數(shù)的底數(shù)中含變量時(shí),底數(shù)須大于零且不等于1,零(負(fù))指數(shù)冪的底數(shù)不能為零;求函數(shù)值域的方法和求函數(shù)最值的常用方法基本上是相同的.事實(shí)上,如果在函數(shù)的值域中存在一個(gè)最小(大)數(shù),這個(gè)數(shù)就是函數(shù)的最小(大)值.因此求函數(shù)的最值與值域,其實(shí)質(zhì)是相同的.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】若一個(gè)四棱錐底面為正方形,頂點(diǎn)在底面的射影為正方形的中心,且該四棱錐的體積為9,當(dāng)其外接球表面積最小時(shí),它的高為( )
A.3
B.2
C.2
D.3
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知矩形ABCD中,AB=2,AD=1,M為CD的中點(diǎn).如圖將△ADM沿AM折起,使得平面ADM⊥平面ABCM.
(1)求證:BM⊥平面ADM;
(2)若點(diǎn)E是線段DB上的中點(diǎn),求三棱錐E﹣ABM的體積V1與四棱錐D﹣ABCM的體積V2之比.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】龍虎山花語(yǔ)世界位于龍虎山主景區(qū)排衙峰下,是一座獨(dú)具現(xiàn)代園藝風(fēng)格的花卉公園,園內(nèi)匯集了余種花卉苗木,一年四季姹紫嫣紅花香四溢.花園景觀融合法、英、意、美、日、中六大經(jīng)典園林風(fēng)格,景觀設(shè)計(jì)唯美新穎,玫瑰花園、香草花溪、臺(tái)地花海、植物迷宮、兒童樂(lè)園等景點(diǎn)錯(cuò)落有致,交相呼應(yīng)又自成一體,是世界園藝景觀的大展示.該景區(qū)自年春建成,試運(yùn)行以來(lái),每天游人如織,郁金香、向日葵、虞美人等賞花旺季日入園人數(shù)最高達(dá)萬(wàn)人.
某學(xué)校社團(tuán)為了解進(jìn)園旅客的具體情形以及采集旅客對(duì)園區(qū)的建議,特別在年月日賞花旺季對(duì)進(jìn)園游客進(jìn)行取樣調(diào)查,從當(dāng)日名游客中抽取人進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析,結(jié)果如下:
年齡 | 頻數(shù) | 頻率 | 男 | 女 |
① | ② | ③ | ④ | |
4 | ||||
合計(jì) |
(I)完成表一中的空位①~④,并作答題紙中補(bǔ)全頻率分布直方圖,并估計(jì)年月日當(dāng)日接待游客中歲以下的游戲的人數(shù).
(II)完成表二,并判斷能否有的把握認(rèn)為在觀花游客中“年齡達(dá)到歲以上”與“性別”相關(guān);
(表二)
歲以上 | 歲以下 | 合計(jì) | |
男生 | |||
女生 | |||
合計(jì) |
(參考公式: ,其中)
(III)按分層抽樣(分歲以上與歲以下兩層)抽取被調(diào)查的位游客中的人作為幸運(yùn)游客免費(fèi)領(lǐng)取龍虎山內(nèi)部景區(qū)門票,再?gòu)倪@人中選取人接受電視臺(tái)采訪,設(shè)這人中年齡在歲以上(含歲)的人數(shù)為,求的分布列.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=ax﹣(k﹣1)a﹣x(a>0且a≠1)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù).
(1)求k值;
(2)若f(1)= ,且g(x)=a2x+a﹣2x﹣2mf(x)在[1,+∞)上的最小值為﹣2,求m的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在某項(xiàng)體育比賽中,七位裁判為一選手打出的分?jǐn)?shù)如下: 90 89 90 95 93 94 93
去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分后,所剩數(shù)的平均值和方差分別為( )
A.92,2
B.92,2.8
C.93,2
D.93,2.8
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】計(jì)算題
(1)已知cos( +x)= ,( <x< ),求 的值.
(2)若 , 是夾角60°的兩個(gè)單位向量,求 =2 + 與 =﹣3 +2 的夾角.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知數(shù)列{an}、{bn}滿足:a1= ,an+bn=1,bn+1= .
(1)求a2 , a3;
(2)證數(shù)列{ }為等差數(shù)列,并求數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式;
(3)設(shè)Sn=a1a2+a2a3+a3a4+…+anan+1 , 求實(shí)數(shù)λ為何值時(shí)4λSn<bn恒成立.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】函數(shù)y=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|< )在同一個(gè)周期內(nèi),當(dāng)x= 時(shí)y取最大值1,當(dāng)x= 時(shí)y取最小值﹣1.
(1)求函數(shù)的解析式y(tǒng)=f(x);
(2)當(dāng)x∈[ , ]時(shí).求函數(shù)y=f(x)的值域.
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