Question

12．對(duì)于定義域?yàn)镈的函數(shù)f（x）=k+$\sqrt{x+2}$，滿足存在區(qū)間[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域?yàn)閇a，b]，求實(shí)數(shù)k的取值范圍$（-\frac{9}{4}，-2]$．

Answer 1

分析 先判斷函數(shù)的定義域和單調(diào)性，根據(jù)函數(shù)定義域和值域之間的關(guān)系建立方程組，構(gòu)造函數(shù)進(jìn)行求解即可．

解答 解：若f（x）=k+$\sqrt{x+2}$滿足條件．
∵函數(shù)f（x）=k+$\sqrt{x+2}$在[-2，+∞）上是增函數(shù)，
即$\left\{\begin{array}{l}a=k+\sqrt{a+2}\\ b=k+\sqrt{b+2}\end{array}\right.$，
∴a，b為方程$x=k+\sqrt{x+2}$的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
即k=x-$\sqrt{x+2}$在x≥-2時(shí)有兩個(gè)不同的根，
設(shè)t=$\sqrt{x+2}$，則x=t²-2，
則方程等價(jià)為k=t²-2-t，在t≥0有兩個(gè)不等的實(shí)根，
設(shè)g（t）=t²-2-t，在t≥0，
作出g（t）的圖象如圖：
當(dāng)t=0時(shí)，g（0）=-2，
g（t）=t²-2-t=（t-$\frac{1}{2}$）²-$\frac{9}{4}$，
則g（t）的最小值為-$\frac{9}{4}$，
∴要使y=k與g（t）有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，
則$-\frac{9}{4}＜k≤-2$，
故答案為：$（-\frac{9}{4}，-2]$

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)值域的應(yīng)用，根據(jù)條件判斷函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性建立方程，然后轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)是解決本題的關(guān)鍵．