Question

如圖，在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD為矩形，側(cè)面SAD為邊長(zhǎng)2的正三角形，且面SAD⊥面ABCD．AB=

2

，E為AD中點(diǎn)；
（1）求證：BD⊥SC；
（2）求二面角E-SC-B的大�。�

Answer 1

考點(diǎn)：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,空間中直線(xiàn)與直線(xiàn)之間的位置關(guān)系

專(zhuān)題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）證明BD⊥SC，先證明BD⊥面SEC，只需證明BD⊥CE，SE⊥BD；
（2）以E為原點(diǎn)，EA、ES所在直線(xiàn)分別為x軸，z軸建立坐標(biāo)系，求出面ESC的法向量、面ESB的法向量，利用向量的夾角公式，即可求二面角E-SC-B的大小．

解答： （1）證明：連接BD，設(shè)BD∩CE=O，
∵ED=1，CD=

2

，BC=2，
∴△CDE∽△BCD，∴∠DBC=∠ECD，
∵∠DBC+∠BDC=90°，∴∠ECD+∠BDC=90°，
∴∠COD=90°，∴BD⊥CE…（2分）
∵△SAD為正三角形，E為AD中點(diǎn)，
∴SE⊥AD，
又∵面SAD⊥面ABCD，且面SAD∩面ABCD=AD
∴SE⊥面ABCD．
∵BD?面ABCD，∴SE⊥BD，
∵BD⊥CE，SE⊥BD，CE∩SE=E，∴BD⊥面SEC，
∵SC?面SEC，∴BD⊥SC…（6分）
（2）解：如圖，以E為原點(diǎn)，EA、ES所在直線(xiàn)分別為x軸，z軸建立如圖所示坐標(biāo)系，則A（1，0，0），B（1，

2

，0），C（-1，

2

，0），D（-1，0，0），S（0，0，

3

），E（0，0，0）
∴

SC

=（-1，

2

，-

3

），

SE

=（0，0，

3

），

SB

=（1，

2

，-

3

），
設(shè)面ESC的法向量為

n1

=（x₁，y₁，z₁），設(shè)面ESB的法向量為

n2

=（x₂，y₂，z₂），則：

n1

⊥

SC

，

n1

⊥

SE

，

n2

⊥

SC

，

n2

⊥

SB

∴

-x1+ 2 y1- 3 z1=0 3 x1=0

，

-x2+ 2 y2- 3 z2=0 x2+ 2 y2- 3 z2=0

解得：

n1

=（

2

，1，0），

n2

=（0，

3

，

2

）
∴

n1

•

n2

=

3

，|

n1

|=

3

，|

n2

|=

5

…（9分）
∴cos＜

n1

，

n2

＞=

3

3 × 5

=

5

5

，
∴＜

n1

，

n2

＞=arccos

5

5

設(shè)二面角E-SC-B的平面角為θ，由圖可知θ=＜

n1

，

n2

＞=arccos

5

5

°
即二面角E-SC-B的大小為arccos

5

5

…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了線(xiàn)面垂直的判斷，以及二面角平面角的度量等有關(guān)知識(shí)，同時(shí)考查空間想象能力和推理論證能力，屬于中檔題．