Question

已知函數(shù)y=2x²-2ax+3在區(qū)間[-1，1]上的最小值是f（a）．
（1）求f（a）的解析式；
（2）討論函數(shù)φ（a）=log_0.5f（a）在 a∈[-2，2]時的單調(diào)性（不需證明）．

Answer 1

解：（1）當＜-1時，函數(shù)y=2x²-2ax+3在區(qū)間[-1，1]上是增函數(shù)，故當x=-1時，函數(shù)取得最小值是 f（-1）=2a+5．
當-1≤≤-1時，由于函數(shù)y=2x²-2ax+3對稱軸是x=，故當x=時，函數(shù)在區(qū)間[-1，1]上取得最小值是 f（）=3-．
當 ≥1時，函數(shù)y=2x²-2ax+3在區(qū)間[-1，1]上是減函數(shù)，故當x=1時，函數(shù)取得最小值是 f（1）=5-2a．
綜上可得 f（a）=．
（2）當-2≤a≤0時，f（a）=3-在[-2，0]上是增函數(shù)，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可得函數(shù)φ（a）=log_0.5f（a）在[-2，0]上是減函數(shù)．
同理可得，數(shù)φ（a）=log_0.5f（a）在[0，2]上是增函數(shù)．
分析：（1）分＜-1、-1≤≤-1、≥1三種情況，分別利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)y=2x²-2ax+3在區(qū)間[-1，1]上的最小值．
（2）當-2≤a≤0時，f（a）=3- 是增函數(shù)，利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可得函數(shù)φ（a）=log_0.5f（a）在[-2，0]上是減函數(shù)，同理可得，數(shù)φ（a）在[0，2]上的單調(diào)性．
點評：本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用，復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．