Question

已知

OP

=(2，1)，

OA

=(1，7)，

OB=(5，1)

，設(shè)C是直線OP上的一點(diǎn)，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）求使

CA

•

CB

取得最小值時(shí)向量

OC

的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)點(diǎn)C滿足（1）時(shí)，求cos∠ACB．

Answer 1

分析：（1）設(shè)

OC

=t

OP

=（2t，t），求出

CA

 和

CB

的坐標(biāo)，代入

CA

•

CB

 的式子進(jìn)行運(yùn)算，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出

CA

•

CB

的最小值．
（2）把

CA

和

CB

的坐標(biāo)代入兩個(gè)向量的夾角公式，求出cos∠ACB 的值．

解答：解：（1）∵點(diǎn)C在直線OP上，∴可設(shè)

OC

=t

OP

=（2t，t）．
∵

OA

=（1，7），

OC

=（2t，t），

OB

=（5，1），
∴

CA

=

OA

-

OC

=（1-2t，7-t），

CB

=

OB

-

OC

=（5-2t，1-t）．
∴

CA

•

CB

=（1-2t）（5-2t）+（7-t）（1+t）=5t²-20t+12=5（t-2）²-8．
∴當(dāng)t=2時(shí)，

CA

•

CB

取得最小值-8，此時(shí)，

OC

=（4，2）．
（2）當(dāng)

OC

=（4，2）時(shí)，

CA

=（-3，5），

CB

=（1，-1），
∴cos∠ACB=

CA • CB

| CA || CB |

=-

4

17

17

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查兩個(gè)向量的數(shù)量積公式的應(yīng)用，兩個(gè)向量坐標(biāo)形式的運(yùn)算，兩個(gè)向量共線的性質(zhì)，兩個(gè)向量夾角公式的應(yīng)用．