求函數(shù)f（x）=-x2+2ax-1，x∈[-2，2]的最大值g（a），并求g（a）的最小值．
分析：把二次函數(shù)的解析式f（x）化為頂點形式，找出拋物線的對稱軸，然后根據(jù)對稱軸在區(qū)間的左邊，中間及右邊分三種情況，根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質分別求出最大值g（a）并求出此時a的范圍，得到g（a）與a為分段函數(shù)，然后分別在三段函數(shù)上分別利用二次函數(shù)和一次函數(shù)的性質求出各自g（a）的范圍，即可得到g（a）的最小值．
解答：解：由f（x）=-x2+2ax-1=-（x-a）2+a2-1，-2≤x≤2，
∴當-2≤a≤2時，g（a）=f（a）=a2-1；
當a＜-2時，g（a）=f（-2）=-4a-5；
當a＞2時，g（a）=f（2）=4a-5；
∴g（a）=
-4a-5(a＜-2)
a2-1(-2≤a≤2)
4a-5(a＞2)
，
∴當-2≤a≤2時，g（a）=a2-1，∴-1≤g（a）＜3；
當a＞2時，g（a）=4a-5，∴g（a）＞3；
當a＜-2時，g（a）=-4a-5，∴g（a）＞3；
綜上所得：g（a）≥-1，
故g（a）的最小值為-1，此時a=0．
點評：此題考查學生掌握二次函數(shù)及一次函數(shù)的圖象與性質，考查了分類討論的數(shù)學思想，是一道綜合題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設函數(shù)f（x）=a2x2（a＞0），g（x）=blnx．
（1）若函數(shù)y=f（x）圖象上的點到直線x-y-3=0距離的最小值為
2
，求a的值；
（2）關于x的不等式（x-1）2＞f（x）的解集中的整數(shù)恰有3個，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）對于函數(shù)f（x）與g（x）定義域上的任意實數(shù)x，若存在常數(shù)k，m，使得f（x）≥kx+m和g（x）≤kx+m都成立，則稱直線y=kx+m為函數(shù)f（x）與g（x）的“分界線”．設a=
2
2
，b=e，試探究f（x）與g（x）是否存在“分界線”？若存在，求出“分界線”的方程；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•深圳一模）已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d，設曲線y=f（x）在與x軸交點處的切線為y=4x-12，f′（x）為f（x）的導函數(shù)，且滿足f′（2-x）=f′（x）．
（1）求f（x）；
（2）設g(x)=x
f′(x)
 ， m＞0，求函數(shù)g（x）在[0，m]上的最大值；
（3）設h（x）=lnf′（x），若對一切x∈[0，1]，不等式h（x+1-t）＜h（2x+2）恒成立，求實數(shù)t的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2011•上海模擬）已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）當a=1，b=2時，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1對任意0＜a＜b恒成立，求實數(shù)m的取值范圍；
（3）設k、c＞0，當a=k2，b=（k+c）2時，記f（x）=f1（x）；當a=（k+c）2，b=（k+2c）2時，記f（x）=f2（x）．
求證：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．

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科目：高中數(shù)學 來源：上海模擬 題型：解答題

已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）當a=1，b=2時，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1對任意0＜a＜b恒成立，求實數(shù)m的取值范圍；
（3）設k、c＞0，當a=k2，b=（k+c）2時，記f（x）=f1（x）；當a=（k+c）2，b=（k+2c）2時，記f（x）=f2（x）．
求證：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．

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科目：高中數(shù)學 來源：深圳一模 題型：解答題

已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d，設曲線y=f（x）在與x軸交點處的切線為y=4x-12，f′（x）為f（x）的導函數(shù)，且滿足f′（2-x）=f′（x）．
（1）求f（x）；
（2）設g(x)=x
f′(x)
 ， m＞0，求函數(shù)g（x）在[0，m]上的最大值；
（3）設h（x）=lnf′（x），若對一切x∈[0，1]，不等式h（x+1-t）＜h（2x+2）恒成立，求實數(shù)t的取值范圍．

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