Question

已知函數(shù)f（x）=，（a∈R）．
（1）若函數(shù)f（x）在x=1處取得極值，求實數(shù)a的值；
（2）在（1）條件下，若直線y=kx與函數(shù)y=f（x）的圖象相切，求實數(shù)k的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)極值的定義可得f^′（1）=0求出a的值然后再回代到題中利用極值的定義判斷函數(shù)f（x）是否在x=1處取得極值以免產(chǎn)生增根．
（2）設(shè)切點A（x，y）根據(jù)直線y=kx與函數(shù)y=f（x）的圖象相切和導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得k=f^′（x）再根據(jù)k=k_OA建立關(guān)于x的等式然后求出x（要注意其大于0）進而求出k
解答：解：（1）∵f（x）=
∴f^′（x）=
∵函數(shù)f（x）在x=1處取得極值
∴f^′（1）=a-1=0
∴a=1
經(jīng)檢驗，a=1時f^′（x）=-故0＜x＜1時f^′（x）＞0，x＞1時f^′（x）＜0，所以函數(shù)f（x）在（0，1）單調(diào)遞增，在（1，+∞）單調(diào)遞減故f（x）在x=1處取得極值．
∴a=1
（2）由（1）可知a=1
∴f（x）=
∴f^′（x）=-
設(shè)切點A（x，y）
∴k=f^′（x）=-
又∵k=k_OA=
∴=-
∴l(xiāng)nx=-
∴
∴k=k_OA===
點評：本題主要考查了函數(shù)極值的概念已及導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用，屬�？碱}，較難．解題的關(guān)鍵是在第二問中根據(jù)直線y=kx與函數(shù)y=f（x）的圖象相切和導(dǎo)數(shù)的幾何意義得出k=f′（x）而直線y=kx有過原點故k=k_OA從而建立了關(guān)于x的等式=-但要注意x＞0！