給定橢圓>b>0),稱圓心在原點(diǎn)O,半徑為的圓是橢圓C的“伴隨圓”.若橢圓C的一個焦點(diǎn)為,其短軸上的一個端點(diǎn)到F1的距離為
(1)求橢圓C的方程及其“伴隨圓”方程;
(2)若傾斜角為45°的直線l與橢圓C只有一個公共點(diǎn),且與橢圓C的伴隨圓相交于M、N兩點(diǎn),求弦MN的長;
(3)點(diǎn)P是橢圓C的伴隨圓上的一個動點(diǎn),過點(diǎn)P作直線l1,l2,使得l1,l2與橢圓C都只有一個公共點(diǎn),求證:l1⊥l2
【答案】分析:(1)直接由橢圓C的一個焦點(diǎn)為,其短軸上的一個端點(diǎn)到F1的距離為,求出,即可求橢圓C的方程及其“伴隨圓”方程;
(2)先把直線方程與橢圓方程聯(lián)立,利用對應(yīng)的判別式為0求出,進(jìn)而求出直線方程以及圓心到直線的距離;即可求弦MN的長;
(3)先對直線l1,l2的斜率是否存在分兩種情況討論,然后對每一種情況中的直線l1,l2與橢圓C都只有一個公共點(diǎn)進(jìn)行求解即可證:l1⊥l2.(在斜率存在時,是先設(shè)直線方程,把直線與橢圓方程聯(lián)立,利用斜率為對應(yīng)方程的根來判斷結(jié)論).
解答:解:(1)因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024182503078906523/SYS201310241825030789065021_DA/2.png">,所以b=1(12分)
所以橢圓的方程為,
伴隨圓的方程為x2+y2=4.(4分)
(2)設(shè)直線l的方程y=x+b,由得4x2+6bx+3b2-3=0
由△=(6b)2-16(3b2-3)=0得b2=4(6分)
圓心到直線l的距離為
所以(8分)
(3)①當(dāng)l1,l2中有一條無斜率時,不妨設(shè)l1無斜率,
因?yàn)閘1與橢圓只有一個公共點(diǎn),則其方程為,
當(dāng)l1方程為時,此時l1與伴隨圓交于點(diǎn)
此時經(jīng)過點(diǎn)(或且與橢圓只有一個公共點(diǎn)的直線是y=1(或y=-1),
即l2為y=1(或y=-1),顯然直線l1,l2垂直;
同理可證l1方程為時,直線l1,l2垂直.(10分)
②當(dāng)l1,l2都有斜率時,設(shè)點(diǎn)P(x,y),其中x2+y2=4,
設(shè)經(jīng)過點(diǎn)P(x,y),與橢圓只有一個公共點(diǎn)的直線為y=k(x-x)+y,
,消去y得到x2+3(kx+(y-kx))2-3=0,
即(1+3k2)x2+6k(y-kx)x+3(y-kx2-3=0,(12分)
△=[6k(y-kx)]2-4•(1+3k2)[3(y-kx2-3]=0,
經(jīng)過化簡得到:(3-x2)k2+2xyk+1-y2=0,
因?yàn)閤2+y2=4,所以有(3-x2)k2+2xyk+(x2-3)=0,(14分)
設(shè)l1,l2的斜率分別為k1,k2,因?yàn)閘1,l2與橢圓都只有一個公共點(diǎn),
所以k1,k2滿足方程(3-x2)k2+2xyk+(x2-3)=0,
因而k1•k2=-1,即l1,l2垂直.(16分)
點(diǎn)評:本題主要考查橢圓的方程和幾何性質(zhì),直線的方程,兩點(diǎn)間的距離公式以及點(diǎn)到直線的距離公式等基礎(chǔ)知識,考查用代數(shù)方法研究圓錐曲線的性質(zhì)和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想,考查解決問題的能力和運(yùn)算能力.
練習(xí)冊系列答案
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(1)求橢圓C的方程及其“伴隨圓”方程;
(2)若傾斜角為45°的直線l與橢圓C只有一個公共點(diǎn),且與橢圓C的伴隨圓相交于M、N兩點(diǎn),求弦MN的長;
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