Question

已知函數(shù)f（x）=

x2

8

-lnx，x∈[1，3]，
（1）求f（x）的最大值與最小值；
（2）若f（x）＜4-at于任意的x∈[1，3]，t∈[0，2]恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）直接求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過導(dǎo)數(shù)為0，求出函數(shù)的極值點，判斷函數(shù)的單調(diào)性，利用最值定理求出f（x）的最大值與最小值；
（2）利用（1）的結(jié)論，f（x）＜4-at于任意的x∈[1，3]，t∈[0，2]恒成立，轉(zhuǎn)化為4-at＞

1

8

對任意t∈[0，2]恒成立，通過

g(0)＜ 31 8 g(2)＜ 31 8

，求實數(shù)a的取值范圍．

解答：解：（1）因為函數(shù)f（x）=

x2

8

-lnx，
所以f′（x）=

x

4

-

1

x

，令f′（x）=0得x=±2，
因為x∈[1，3]，
 當(dāng)1＜x＜2時  f′（x）＜0；當(dāng)2＜x＜3時，f′（x）＞0；
∴f（x）在（1，2）上單調(diào)減函數(shù)，在（2，3）上單調(diào)增函數(shù)，
∴f（x）在x=2處取得極小值f（2）=

1

2

-ln2；
 又f（1）=

1

8

，f（3）=

9

8

-ln3，
∵ln3＞1∴

1

8

-(

9

8

-ln3)=ln3-1＞0
∴f（1）＞f（3），
∴x=1時 f（x）的最大值為

1

8

，
x=2時函數(shù)取得最小值為

1

2

-ln2．
（2）由（1）知當(dāng)x∈[1，3]時，f（x）≤

1

8

，
故對任意x∈[1，3]，f（x）＜4-at恒成立，
只要4-at＞

1

8

對任意t∈[0，2]恒成立，即at＜

31

8

恒成立
記 g（t）=at，t∈[0，2]
∴

g(0)＜ 31 8 g(2)＜ 31 8

，解得a＜

31

16

，
∴實數(shù)a的取值范圍是（-∞，

31

16

）．

點評：本題考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在閉區(qū)間上的最值的求法，考查計算能力，恒成立問題的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想，計算能力．