已知向量
a
=(sinθ,1),
b
=(1,cosθ),θ∈(-
π
2
π
2
)

(1)若
a
b
,求θ的值;
(2)若已知sinθ+cosθ=
2
sin(θ+
π
4
)
,利用此結(jié)論求|
a
+
b
|的最大值.
分析:(1)根據(jù)題意,由
a
b
,可得
a
b
=0
,由數(shù)量積公式可得sinθ+cosθ=0,即tanθ=-1,結(jié)合θ的范圍,即可得答案;
(2)由向量模的計(jì)算方法,有|
a
+
b
|=
2
2
sin(θ+
π
4
)+3
,由正弦函數(shù)的性質(zhì),分析可得當(dāng)sin(θ+
π
4
)=1
時(shí),|
a
+
b
|有最大值,即可得答案.
解答:解:(1)由
a
b
,得
a
b
=0
,
則有sinθ+cosθ=0,即tanθ=-1,
又由θ∈(-
π
2
,
π
2

因此θ=-
π
4

(2)|a+b|=
(sinθ+1)2+(cosθ+1)2
=
2(sinθ+cosθ)+3
=
2
2
sin(θ+
π
4
)+3

當(dāng)sin(θ+
π
4
)=1
時(shí),|
a
+
b
|有最大值,
此時(shí)θ=
π
4
,|
a
+
b
|的最大值為
2
2
+3
=
2
+1
點(diǎn)評(píng):本題考查向量數(shù)量積的應(yīng)用,要掌握通過(guò)數(shù)量積來(lái)判斷向量垂直,計(jì)算向量的模的方法.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知向量
a
=(sinθ,
3
)
b
=(1,cosθ)
θ∈(-
π
2
,
π
2
)

(1)若
a
b
,求θ;
(2)求|
a
+
b
|
的最大值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知向量
a
=(sin(x-
π
4
),-1),
b
=(
2
,2)
f(x)=
a
b
+2

(1)求f(x)的表達(dá)式.
(2)用“五點(diǎn)作圖法”畫出函數(shù)f(x)在一個(gè)周期上的圖象.
(3)寫出f(x)在[-π,π]上的單調(diào)遞減區(qū)間.
(4)設(shè)關(guān)于x的方程f(x)=m在x∈[-π,π]上的根為x1,x2m∈(1,
2
)
,求x1+x2的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知向量
a
=(sinθ,-2),
b
=(1,cosθ)
,且
a
b
,則sin2θ+cos2θ的值為(  )

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知向量
a
=(sin(x-
π
4
),-1)
b
=(2,2)
f(x)=
a
b
+2

①用“五點(diǎn)法”作出函數(shù)y=f(x)在長(zhǎng)度為一個(gè)周期的閉區(qū)間的圖象.
②求函數(shù)f(x)的最小正周期和單調(diào)增區(qū)間;
③求函數(shù)f(x)的最大值,并求出取得最大值時(shí)自變量x的取值集合
④函數(shù)f(x)的圖象可以由函數(shù)y=sin2x(x∈R)的圖象經(jīng)過(guò)怎樣的變換得到?
⑤當(dāng)x∈[0,π],求函數(shù)y=2sin(x-
π
4
)
的值域
解:(1)列表
(2)作圖
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