設(shè)數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=1,前n項(xiàng)和Sn滿足關(guān)系式:3tSn-(2t+3)Sn-1=3t(其中t>0,n=2,3,4,…)
(Ⅰ)求證:數(shù)列{an}是等比數(shù)列.
(Ⅱ)設(shè)數(shù)列{an}的公比為f(t),作數(shù)列{bn},使b1=1,bn=f
1
bn-1
)(n=2,3,4…),求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式bn
(Ⅲ)設(shè)Tn=b1b2-b2b3+b3b4 -b4b5+…+b2n-1b2n-b2nb2n+1,求Tn
考點(diǎn):數(shù)列的求和,數(shù)列的函數(shù)特性,等比關(guān)系的確定
專題:
分析:(Ⅰ)由3tSn-(2t+3)Sn-1=3t⇒3tSn-1-(2t+3)Sn-2=3t,兩式相減,可得3tan-(2t+3)an-1=0,進(jìn)一步可求得a2=
2t+3
3t
,
a2
a1
=
2t+3
3t
,從而可證數(shù)列{an}是等比數(shù)列.
(Ⅱ)由f(t)=
2t+3
3t
=
2
3
+
1
t
,得bn=f
1
bn-1
)=
2
3
+bn-1⇒{bn}是首項(xiàng)為1,公差為
2
3
的等差數(shù)列,從而可求得其通項(xiàng)公式;
(Ⅲ)由bn=
4n+1
3
,可知{b2n-1}和{b2n}是首項(xiàng)分別為1和
5
3
,公差均為
4
3
的等差數(shù)列,從而將所求關(guān)系式Tn=b1b2-b2b3+b3b4 -b4b5+…+b2n-1b2n-b2nb2n+1,整理變形為Tn=-
4
3
(b2+b4+…+b2n),從而可求Tn
解答: (Ⅰ)證明:由a1=1,S2=1+a2,得3t(1+a2)-(2t+3)=3t.
a2=
2t+3
3t
,
a2
a1
=
2t+3
3t
…2分
又3tSn-(2t+3)Sn-1=3t,…①
3tSn-1-(2t+3)Sn-2=3t,…②
①-②得3tan-(2t+3)an-1=0.
an
an-1
=
2t+3
3t
,n=2,3,4…4分
∴{an}是一個(gè)首項(xiàng)為1,公比為
2t+3
3t
的等比數(shù)列…5分
(Ⅱ)解:由f(t)=
2t+3
3t
=
2
3
+
1
t
,得bn=f
1
bn-1
)=
2
3
+bn-1
∴{bn}是首項(xiàng)分別為1,公差為
2
3
的等差數(shù)列,…7分
∴bn=1+
2
3
(n-1)=
2n+1
3
…9分
(Ⅲ)解:由bn=
4n+1
3
,可知{b2n-1}和{b2n}是首項(xiàng)分別為1和
5
3
,公差均為
4
3
的等差數(shù)列,于是b2n=
4n+1
3
,
∴b1b2-b2b3+b3b4 -b4b5+…+b2n-1b2n-b2nb2n+1=b2(b1-b3)+b4(b3-b5)+…+b2n(b2n-1-b2n+1)…11分
=-
4
3
(b2+b4+…+b2n)=-
4
3
×
1
2
n(
5
3
+
4n+1
3
)=-
4
9
(2n2+3n)…14分
點(diǎn)評(píng):本題考查數(shù)列的遞推關(guān)系式的應(yīng)用,著重考查等比關(guān)系的確定,數(shù)列的函數(shù)性質(zhì),考查數(shù)列的求和及推理、論證及綜合運(yùn)算能力,屬于難題.
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已知二次函數(shù)g(x)對(duì)任意實(shí)數(shù)x都滿足g(x-1)+g(1-x)=x2-2x-1,且g(1)=-1,令f(x)=g(x+
1
2
)+mlnx+
9
8
(m∈R,x>0).
(1)求g(x)的表達(dá)式;
(2)設(shè)1<m≤e,H(x)=f(x)-(m+1)x.證明:對(duì)任意x1,x2∈[1,m],恒有|H(x1)-H(x2)|<1.

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已知A、B、C是直線l上不同的三點(diǎn),O為直線l外任一點(diǎn),向量
OA
,
OB
OC
滿足
OA
=[f(x)+2f′(1)]•
OB
-1n(x+1)
OC

(1)求函數(shù)y=f(x)的表達(dá)式;
(2)若不等式
1
2
x2≤f(x2)+m2-2bm-3對(duì)x∈[-1,1]及b∈[-1,1]都恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

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設(shè)函數(shù)f(x)=mx3-3x+n,m,n∈R
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(Ⅱ)若函數(shù)f(x)在[-1,1]內(nèi)沒(méi)有極值點(diǎn),求a的范圍;
(Ⅲ)若對(duì)任意的a∈{3,6},不等式f(x)≤1在x∈[-2,2]上恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

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(1)求yAyB的值,當(dāng)|AB|=8時(shí),求直線l的方程;
(2)設(shè)P(-1,0),求證:直線PA,PB的斜率之和為0;
(3)設(shè)Q(2,0),AQ的延長(zhǎng)線交拋物線于C,BC的中點(diǎn)為D,當(dāng)直線DF在y軸上的截距的取值范圍是(
2
3
,2),求yA取值范圍.

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