Question

已知函數(shù)f（x）=．
（1）求函數(shù)的定義域；        
（2）判斷f（x）的奇偶性并證明；
（3）若f（x）的定義域?yàn)閇α，β]（β＞α＞0），判斷f（x）在定義域上的增減性，并加以證明．

Answer 1

解：（1）對(duì)于函數(shù)f（x）=，
有＞0，
解可得，x＞3或x＜﹣3，
則函數(shù)f（x）=的定義域?yàn)閧x|x＞3或x＜﹣3}；
（2）由（1）可得，f（x）=的定義域?yàn)閧x|x＞3或x＜﹣3}，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
f（﹣x）=log_m=log_m=﹣，
即f（﹣x）=﹣f（x），f（x）為奇函數(shù)；
（3）根據(jù)題意，f（x）的定義域?yàn)閇α，β]（β＞α＞0），則[α，β]（3，+∞）．
設(shè)x₁，x₂∈[α，β]，且x₁＜x₂，
則x₁，x₂＞3，f（x₁）﹣f（x₂）==
∵（x₁﹣3）（x₂+3）﹣（x₁+3）（x₂﹣3）=6（x₁﹣x₂）＜0，
∴（x₁﹣3）（x₂+3）＜（x₁+3）（x₂﹣3）即，
∴當(dāng)0＜m＜1時(shí)，log_m，即f（x₁）＞f（x₂）；
當(dāng)m＞1時(shí)，log_m，即f（x₁）＜f（x₂），
故當(dāng)0＜m＜1時(shí)，f（x）為減函數(shù)；m＞1時(shí)，f（x）為增函數(shù)．