已知二次函數(shù)f(x)=x2-ax+a(x∈R)同時滿足:①不等式f(x)≤0的解集有且只有一個元素;②在定義域內(nèi)存在0<x1<x2,使得不等式f(x1)>f(x2)成立.設數(shù)列{an}的前n項和Sn=f(n).
(1)求f(x)的解析式;
(2)求數(shù)列{an}的通項公式;
(3)設bn=(
3
)an+5
cn=
6bn
bn+1
+
1
bn
-
1
bn+1
,{cn}前n項和為Tn,Tn-n>m對(n∈N*,n≥2)恒成立,求實數(shù)m的取值范圍.
分析:(1)根據(jù)不等式的解集有一個元素,寫出判別式要滿足的條件,求出a的值,把所求的兩個數(shù)值代入解析式進行檢驗,看哪一個符合單調(diào)性,求出a的值.
(2)根據(jù)數(shù)列{an}的前n項和Sn=f(n),寫出前n項和的表示式,根據(jù)由前n項和求通項的方法寫出數(shù)列的通項,驗證首項是否符合所求的通項,得到是一個分段形式.
(3)構(gòu)造出兩個新數(shù)列,要求數(shù)列{Cn}的前n項和,把數(shù)列分成三部分來求,整理出最簡形式,根據(jù)Tn-n>m對(n∈N*,n≥2)恒成立可轉(zhuǎn)化為:m<16+
1
27
+n-
1
3n+1
對n∈N*,n≥2恒成立,根據(jù)16+
1
27
+n-
1
3n+1
是關于n的增函數(shù),得到結(jié)論.
解答:解(1)∵f(x)≤0的解集有且只有一個元素,∴△=a2-4a=0?a=0或a=4,
當a=4時,函數(shù)f(x)=x2-4x+4在(0,2)上遞減,
故存在0<x1<x2,使得不等式f(x1)>f(x2)成立,
當a=0時,函數(shù)f(x)=x2在(0,+∞)上遞增,
故不存在0<x1<x2,使得不等式f(x1)>f(x2)成立,
綜上,得a=4,f(x)=x2-4x+4.
(2)由(1)可知Sn=n2-4n+4,當n=1時,a1=s1=1
當n≥2時,an=sn-sn-1=(n2-4n+4)-[(n-1)2-4(n-1)+4]=2n-5.
an=sn-sn-1=
1
 &n=1
2n-5,n≥2

(3)∵bn=(
3
)an+5=
27,n=1
3n,n≥2
,
∴b1=27,c1=18-
2
27
,n≥2時,cn═2+
1
3n
-
1
3n+1

Tn=c1+c2+…+cn=c1+2(n-1)+(
1
32
-
1
3n+1
)
]
=18-
2
27
+2n-2+
1
9
-
1
3n+1
=16+
1
27
+2n-
1
3n+1

Tn-n>m對(n∈N*,n≥2)恒成立可轉(zhuǎn)化為:m<16+
1
27
+n-
1
3n+1
對n∈N*,n≥2恒成立,
因為16+
1
27
+n-
1
3n+1
是關于n的增函數(shù),
所以當n=2時,其取得最小值18,
所以m<18.
點評:本題考查數(shù)列與函數(shù)的綜合,本題解題的關鍵是根據(jù)所給的條件構(gòu)造新數(shù)列,求新數(shù)列的和,這里利用數(shù)列的求和的基本方法即分組,注意本題中對于特殊項的驗證.
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已知二次函數(shù)f(x)=x2+2(m-2)x+m-m2
(I)若函數(shù)的圖象經(jīng)過原點,且滿足f(2)=0,求實數(shù)m的值.
(Ⅱ)若函數(shù)在區(qū)間[2,+∞)上為增函數(shù),求m的取值范圍.

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已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的圖象過點(0,1),且與x軸有唯一的交點(-1,0).
(Ⅰ)求f(x)的表達式;
(Ⅱ)設函數(shù)F(x)=f(x)-kx,x∈[-2,2],記此函數(shù)的最小值為g(k),求g(k)的解析式.

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(1)若函數(shù)在區(qū)間[-1,1]上存在零點,求實數(shù)q的取值范圍;
(2)若記區(qū)間[a,b]的長度為b-a.問:是否存在常數(shù)t(t≥0),當x∈[t,10]時,f(x)的值域為區(qū)間D,且D的長度為12-t?請對你所得的結(jié)論給出證明.

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(2013•廣州一模)已知二次函數(shù)f(x)=x2+ax+m+1,關于x的不等式f(x)<(2m-1)x+1-m2的解集為(m,m+1),其中m為非零常數(shù).設g(x)=
f(x)x-1

(1)求a的值;
(2)k(k∈R)如何取值時,函數(shù)φ(x)=g(x)-kln(x-1)存在極值點,并求出極值點;
(3)若m=1,且x>0,求證:[g(x+1)]n-g(xn+1)≥2n-2(n∈N*).

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(1)已知二次函數(shù)f(x)的圖象與x軸的兩交點為(2,0),(5,0),且f(0)=10,求f(x)的解析式.
(2)已知二次函數(shù)f(x)的圖象的頂點是(-1,2),且經(jīng)過原點,求f(x)的解析式.

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