Question

如圖，已知四棱錐P-ABCD，底面ABCD為菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E，F(xiàn)分別是BC，PC的中點．
（Ⅰ）證明：AE⊥PD；
（Ⅱ）若H為PD上的動點，EH與平面PAD所成最大角的正切值為

6

2

，求二面角E-AF-C的余弦值．

Answer 1

分析：（1）要證明AE⊥PD，我們可能證明AE⊥面PAD，由已知易得AE⊥PA，我們只要能證明AE⊥AD即可，由于底面ABCD為菱形，故我們可以轉化為證明AE⊥BC，由已知易我們不難得到結論．
（2）由EH與平面PAD所成最大角的正切值為

6

2

，我們分析后可得PA的值，由（1）的結論，我們進而可以證明平面PAC⊥平面ABCD，則過E作EO⊥AC于O，則EO⊥平面PAC，過O作OS⊥AF于S，連接ES，則∠ESO為二面角E-AF-C的平面角，然后我們解三角形ASO，即可求出二面角E-AF-C的余弦值．

解答：證明：（Ⅰ）證明：由四邊形ABCD為菱形，∠ABC=60°，可得△ABC為正三角形．
因為E為BC的中點，所以AE⊥BC．
又BC∥AD，因此AE⊥AD．
因為PA⊥平面ABCD，AE?平面ABCD，所以PA⊥AE．
而PA?平面PAD，AD?平面PAD且PA∩AD=A，
所以AE⊥平面PAD．又PD?平面PAD，
所以AE⊥PD．

解：（Ⅱ）設AB=2，H為PD上任意一點，連接AH，EH．
由（Ⅰ）知AE⊥平面PAD，
則∠EHA為EH與平面PAD所成的角．
在Rt△EAH中，AE=

3

，
所以當AH最短時，∠EHA最大，
即當AH⊥PD時，∠EHA最大．
此時tan∠EHA=

AE

AH

=

3

AH

=

6

2

，
因此AH=

2

．又AD=2，所以∠ADH=45°，
所以PA=2．
因為PA⊥平面ABCD，PA?平面PAC，
所以平面PAC⊥平面ABCD．
過E作EO⊥AC于O，則EO⊥平面PAC，
過O作OS⊥AF于S，連接ES，則∠ESO為二面角E-AF-C的平面角，
在Rt△AOE中，EO=AE•sin30°=

3

2

，AO=AE•cos30°=

3

2

，
又F是PC的中點，在Rt△ASO中，SO=AO•sin45°=

3 2

4

，
又SE=

EO2+SO2

=

3 4 + 9 8

=

30

4

，
在Rt△ESO中，cos∠ESO=

SO

SE

=

3 2 4

30 4

=

15

5

，
即所求二面角的余弦值為

15

5

．

點評：求二面角的大小，一般先作出二面角的平面角．此題是利用二面角的平面角的定義作出∠ESO為二面角E-AF-C的平面角，通過解∠AOC所在的三角形求得∠ESO．其解題過程為：作∠ESO→證∠ESO是二面角的平面角→計算∠ESO，簡記為“作、證、算”．