Question

某廠生產(chǎn)一種產(chǎn)品的固定成本（即固定投入）為0.5萬(wàn)元，但每生產(chǎn)一百件這樣的產(chǎn)品，需要增加可變成本（即另增加投入）0.25萬(wàn)元．市場(chǎng)對(duì)此產(chǎn)品的年需求量為500件，銷售的收入函數(shù)為（單位：萬(wàn)元），其中t（t∈N）是產(chǎn)品售出的數(shù)量（單位：百件）
（1）該公司這種產(chǎn)品的年產(chǎn)量為x（x∈N）百件，生產(chǎn)并銷售這種產(chǎn)品所得到的利潤(rùn)為當(dāng)年產(chǎn)量x（x∈N）的函數(shù)f（x），求f（x）；
（2）當(dāng)年產(chǎn)量是多少時(shí)，工廠所得利潤(rùn)最大？
（3）當(dāng)年產(chǎn)量是多少時(shí)，工廠才不虧本？

Answer 1

解：（1）∵某廠生產(chǎn)一種產(chǎn)品的固定成本（即固定投入）為0.5萬(wàn)元，
每生產(chǎn)一百件這樣的產(chǎn)品，需要增加可變成本0.25萬(wàn)元，
公司這種產(chǎn)品的年產(chǎn)量為x（x∈N）百件，
銷售的收入函數(shù)為，
∴當(dāng)0≤x≤5，x∈Z時(shí)，
f（x）=5x--0.5-0.25x=-0.5+4.75x-，
當(dāng)x＞5，x∈Z時(shí)，
f（x）=25--0.5-0.25x=12-0.25x，
∴f（x）=．
（2）當(dāng)0≤x≤5時(shí)，y=-0.5+4.75x-，
∵拋物線開(kāi)口向下，對(duì)稱軸x=4.75，
∴當(dāng)x=5時(shí)，y有最大值10.75；
當(dāng)x＞5時(shí)，∵y=12-0.25x是減函數(shù)，
∴x=6時(shí)，y有最大值10.50．
綜上，當(dāng)年產(chǎn)量為500件時(shí)，工廠所得利潤(rùn)最大．
（3）當(dāng)0≤x≤5時(shí)，由y=-0.5+4.75x-≥0，得0≤x≤5，x∈Z；
當(dāng)x＞5時(shí)，由y=12-0.25x≥0，得5＜x≤48，x∈Z．
當(dāng)年產(chǎn)量x滿足1≤x≤48，x∈Z時(shí)，工廠不虧本．
分析：（1）利潤(rùn)函數(shù)=銷售收入函數(shù)-成本函數(shù)，討論x的大小，由此能夠利用分段函數(shù)表示出年利潤(rùn)y表示為年產(chǎn)量x（x＞0）的函數(shù)．
（2）由利潤(rùn)函數(shù)是分段函數(shù)，分段求出最大值，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)取最大值時(shí)對(duì)應(yīng)的自變量x的值，比較兩段的最大值即可求出所求．
（3）令利潤(rùn)函數(shù)不小于，能夠求出年產(chǎn)量是多少時(shí)，工廠才不虧本．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的生產(chǎn)生活中的實(shí)際應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意二次函數(shù)和分段函數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．