【題目】已知F是拋物線的焦點,點M是拋物線上的定點,且.
(1)求拋物線C的方程;
(2)直線AB與拋物線C交于不同兩點,直線與AB平行,且與拋物線C相切,切點為N,試問△ABN的面積是否是定值.若是,求出這個定值;若不是,請說明理由.
【答案】(1);(2)定值
【解析】
(1)設(shè),由,求得,代入拋物線的方程,求得的值,即可得到拋物線的方程;
(2)設(shè)其方程為,聯(lián)立方程組,求得,得到Q,
由條件設(shè)切線的方程為,聯(lián)立方程組,利用根與系數(shù)的關(guān)系,求得切點N,再由軸,求得及,利用面積公式,即可求解。
(1)設(shè),由題知,所以,
所以,即,
代入中得,解得,
所以拋物線C的方程為。
(2)由題意知,直線AB的斜率存在,設(shè)其方程為,
由,整理得,則,
所以,
設(shè)AB的中點為Q,則點Q的坐標(biāo)為,
由條件設(shè)切線的方程為,則,整理得。
因為直線與拋物線相切,所以,所以,
所以,所以,所以,
所以切點N的坐標(biāo)為,
所以軸,所以,
因為,
又因為,所以,
所以,
所以的面積為定值,且定值為
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,某人工景觀湖外圍有兩條相互垂直的直線型公路ll,l2,且ll和l2交于點O.為了方便游客游覽,計劃修建一條連接公路與景觀湖的直線型公路AB.景觀湖的輪廓可以近似看成一個圓心為O,半徑為2百米的圓,且公路AB與圓O相切,圓心O到ll,l2的距離均為5百米,設(shè)OAB=,AB長為L百米.
(1)求L關(guān)于的函數(shù)解析式;
(2)當(dāng)為何值時,公路AB的長度最短?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知f(x)是定義在上的單調(diào)函數(shù),且對任意的x∈都有,則方程的一個根所在的區(qū)間是( )
A. (0,1) B. (1,2) C. (2,3) D. (3,4)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費,需了解年宣傳費(單位:萬元)對年銷售量(單位:噸)和年利潤(單位:萬元)的影響.對近六年的年宣傳費和年銷售量()的數(shù)據(jù)作了初步統(tǒng)計,得到如下數(shù)據(jù):
年份 | ||||||
年宣傳費(萬元) | ||||||
年銷售量(噸) |
經(jīng)電腦模擬,發(fā)現(xiàn)年宣傳費(萬元)與年銷售量(噸)之間近似滿足關(guān)系式().對上述數(shù)據(jù)作了初步處理,得到相關(guān)的值如表:
(1)根據(jù)所給數(shù)據(jù),求關(guān)于的回歸方程;
(2)已知這種產(chǎn)品的年利潤與,的關(guān)系為若想在年達(dá)到年利潤最大,請預(yù)測年的宣傳費用是多少萬元?
附:對于一組數(shù)據(jù),,…,,其回歸直線中的斜率和截距的最小二乘估計分別為,
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知命題p:x2+mx+1=0有兩個不等的負(fù)根;命題q:4x2+4(m﹣2)x+1=0無實根.若命題p與命題q有且只有一個為真,求實數(shù)m的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某大學(xué)生從全校學(xué)生中隨機選取名統(tǒng)計他們的鞋碼大小,得到如下數(shù)據(jù):
鞋碼 | 合計 | ||||||||||
男生 | |||||||||||
女生 |
以各性別各鞋碼出現(xiàn)的頻率為概率.
()從該校隨機挑選一名學(xué)生,求他(她)的鞋碼為奇數(shù)的概率.
()為了解該校學(xué)生考試作弊的情況,從該校隨機挑選名學(xué)生進行抽樣調(diào)查.每位學(xué)生從裝有除顏色外無差別的個紅球和個白球的口袋中,隨機摸出兩個球,若同色,則如實回答其鞋碼是否為奇數(shù);若不同色,則如實回答是否曾在考試中作弊.這里的回答,是指在紙上寫下“是”或“否”.若調(diào)查人員回收到張“是”的小紙條,試估計該校學(xué)生在考試中曾有作弊行為的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】唐代詩人李欣的是古從軍行開頭兩句說“百日登山望烽火,黃昏飲馬傍交河”詩中隱含著一個有缺的數(shù)學(xué)故事“將軍飲馬”的問題,即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā),先到河邊飲馬后再回到軍營,怎樣走才能使總路程最短?在平面直角坐標(biāo)系中,設(shè)軍營所在區(qū)域為,若將軍從出發(fā),河岸線所在直線方程,并假定將軍只要到達(dá)軍營所在區(qū)域即回到軍營,則“將軍飲馬”的最短總路程為( )
A.B.C.D.
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