定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足f(x+1)=-f(x)且f(x)在[-1,0]上是增函數(shù),給出下列四個命題:
①f(x)是周期函數(shù);
②f(x)的圖象關(guān)于x=l對稱;
③f(x)在[l,2l上是減函數(shù);
④f(2)=f(0),
其中正確命題的序號是
①②④
①②④
.(請把正確命題的序號全部寫出來)
分析:①利用周期性的定義判斷.②利用對稱性判斷.③利用單調(diào)性和周期性的關(guān)系判斷.④利用函數(shù)的性質(zhì)去求值.
解答:解:①由f(x+1)=-f(x),可得f(x+2)=f(x),即函數(shù)的周期是2,所以f(x)是周期函數(shù),所以①正確.
②因為函數(shù)f(x)為偶函數(shù),所以f(x+2)=f(x)=f(-x),即f(1+x)=f(1-x),所以f(x)的圖象關(guān)于x=l對稱,所以②正確.
③因為f(x)是周期為2的周期函數(shù),且函數(shù)f(x)在[-1,0]上是增函數(shù),所以f(x)在[l,2l上是增函數(shù),所以③錯誤.
④因為f(x)是周期為2的周期函數(shù),所以f(x+2)=f(x),即f(2)=f(0),所以④正確.
故答案為:①②④.
點評:本題的考點是函數(shù)的性質(zhì)的綜合考查.對于函數(shù)的奇偶性、周期性、對稱性和單調(diào)性的判斷和應(yīng)用要熟練掌握.
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π
2
]
時,f(x)=sinx,則f(
3
)
的值是
 

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