Question

2．已知函數(shù)f（x）=$\frac{sinπx}{{（{{x^2}+1}）（{{x^2}-2x+2}）}}$．對于下列命題：
①函數(shù)f（x）是周期函數(shù)；
②函數(shù)f（x）有最大值；
③函數(shù)f（x）的定義域是R，且其圖象有對稱軸；
④方程f（x）=0在區(qū)間[-100，100]上的根的個數(shù)是201個；
其中不正確的命題個數(shù)有（　　）

• A． 1個
• B． 2個
• C． 3個
• D． 4個

Answer 1

分析 ①根據(jù)周期的定義即可判斷．
②根據(jù)二次函數(shù)的最值和不等式的基本性質(zhì)，可以求出x²+1≥1；x²-2x+2=（x-1）²+1≥1，注意等號成立的條件，從而求得$\frac{1}{（{x}^{2}+1）（{x}^{2}-2x+2）}$＜1的范圍，根據(jù)正弦函數(shù)的有界性，從而求得結(jié)論正確，
③根據(jù)軸對稱圖形的定義，在函數(shù)f（x）圖象上任取點P（x，y），求出點P關(guān)于直線x=$\frac{1}{2}$的對稱點是P′（1-x，y），驗證點P′在函數(shù)的圖象上即可；
④方程f（x）=0在區(qū)間[-100，100]上的根，即為sinπx=0在區(qū)間[-100，100]上的根．

解答 解：①函數(shù)f（x）是周期函數(shù)不正確，因為分母隨著自變量的遠離原點，趨向于正窮大，
所以函數(shù)圖象無限靠近于X軸，故不是周期函數(shù)，故①錯誤；
②∵x²+1≥1，當x=0時等號成立；x²-2x+2=（x-1）²+1≥1，當x=1時等號成立，
∴（x²+1）[（x-1）²+1]＞1，∴0＜$\frac{1}{（{x}^{2}+1）（{x}^{2}-2x+2）}$＜1，
而|sinπx|≤1，∴$\frac{|sinπx|}{（{x}^{2}+1）（{x}^{2}-2x+2）}$≤1，即|f（x）|≤1；故②正確；
③在函數(shù)f（x）圖象上任取點P（x，y），則點P關(guān)于直線x=$\frac{1}{2}$的對稱點是P′（1-x，y）
而f（1-x）=$\frac{sinπ（1-x）}{[（1-x）^{2}+1][（1-x）^{2}-2（1-x）+2]}$=$\frac{sinπx}{{（{{x^2}+1}）（{{x^2}-2x+2}）}}$．
∴直線x=$\frac{1}{2}$是函數(shù)f（x）圖象的對稱軸；故③正確，
④方程f（x）=0，即sinπx=0，即πx=kπ，k∈Z，解得x=k，k∈Z，
由于x∈[-100，100]，
∴方程f（x）=0在區(qū)間[-100，100]上的根的個數(shù)是201個，故④正確，
故選：A．

點評 本題主要考查了函數(shù)思想，轉(zhuǎn)化思想，還考查函數(shù)圖象的對稱變化和一元二次方程根的問題，以及函數(shù)奇偶性的判定方法等基礎(chǔ)知識，考查學(xué)生靈活應(yīng)用知識分析解決問題的能力，數(shù)形結(jié)合法是解答本類題的重要方法．