Question

函數(shù)y=f（x）是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，且對(duì)任意的x∈R，均有f（x+4）=f（x）成立．當(dāng)x∈（0，2）時(shí)，f（x）=-x²+2x+1．
（Ⅰ）當(dāng)x∈[4k-2，4k+2]（k∈Z）時(shí)，求函數(shù)f（x）的表達(dá)式；
（Ⅱ）求不等式f(x)＞

3

2

的解集．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由f（x+4）=f（x），得出T=4，利用x∈（0，2）時(shí)，f（x）=-x²+2x+1．求出當(dāng)x∈（-2，0）時(shí)，
f（x）=x²+2x-1．得出f（x）在一個(gè)周期長(zhǎng)度上的解析式，再將x∈[4k-2，4k+2]轉(zhuǎn)化為x∈[-2，2]上求解．
（Ⅱ）先求出不等式f(x)＞

3

2

在[-2，2]上的解集，再利用周期性求出所有的結(jié)果．

解答：解：（Ⅰ）當(dāng)x=0時(shí)，∵f（0）=-f（0），∴f（0）=0
當(dāng)x∈（-2，0）時(shí)，-x∈（0，2），f（x）=-f（-x）=-（x²-2x+1）=x²+2x-1．
由f（x+4）=f（x）知f（x）為周期函數(shù)，且T=4．
當(dāng)x∈[4k-2，4k）（k∈Z）時(shí)，x-4k∈[-2，0），
f（x）=f（x-4k）=（x-4k）²+2（x-4k）-1．
當(dāng)x∈[4k，4k+2]）（k∈Z）時(shí)，x-4k∈[0，2]，
f（x）=f（x-4k）=-（x-4k）²+2（x-4k）+1．
故當(dāng)x∈[4k-2，4k+2]（k∈Z）時(shí)，（x-4k）²+2（x-4k）-1
f（x）=

(x-4k)2+2(x-4k)-1，x∈[4k-2，4k) 0x=4k -(x-4k)2+2(x-4k)+1，x∈(4k，4k+2]

（Ⅱ）當(dāng)x∈[-2，2]時(shí)，由f(x)＞

3

2

，得

-2≤x＜0 x2+2x-1＞ 3 2

或

0＜x≤2 -x2+2x+1＞ 3 2

解得1-

2

2

＜x＜1+

2

2

，因?yàn)閒（x）是以4為周期的函數(shù)，所以不等式f(x)＞

3

2

的解集是{x|4k+1-

2

2

＜x＜4k+1+

2

2

}

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)解析式求解，解不等式．考查轉(zhuǎn)化計(jì)算能力．