Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD為正方形，PA=AB=4，G為PD中點(diǎn)，E點(diǎn)在AB上，平面PEC⊥平面PDC．
（Ⅰ）求證：AG⊥平面PCD；
（Ⅱ）求證：AG∥平面PEC；
（Ⅲ）求點(diǎn)G到平面PEC的距離．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）欲證AG⊥平面PCD，根據(jù)直線與平面垂直的判定定理可知只需證AG與平面PCD內(nèi)兩相交直線垂直，根據(jù)CD⊥AD，CD⊥PA，可證得CD⊥平面PAD，從而CD⊥AG，又PD⊥AG滿足線面垂直的判定定理?xiàng)l件；
（Ⅱ）欲證AG∥平面PEC，根據(jù)直線與平面平行的判定定理可知只需證AG與平面PEC內(nèi)一直線平行，作EF⊥PC于F，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)可知EF⊥平面PCD，而AG⊥平面PCD，則EF∥AG，又AG?面PEC，EF?面PEC，滿足定理所需條件；
（Ⅲ）由AG∥平面PEC知A、G兩點(diǎn)到平面PEC的距離相等先求出V_P-AEC的體積，再根據(jù)V_P-AEC=V_A-PEC建立等式關(guān)系，從而求出G點(diǎn)到平面PEC的距離．
解答：解：（Ⅰ）證明：∵CD⊥AD，CD⊥PA
∴CD⊥平面PAD∴CD⊥AG，
又PD⊥AG，∴AG⊥平面PCD（4分）
（Ⅱ）證明：作EF⊥PC于F，因面PEC⊥面PCD
∴EF⊥平面PCD，又由（Ⅰ）知AG⊥平面PCD
∴EF∥AG，又AG?面PEC，EF?面PEC，
∴AG∥平面PEC（7分）
（Ⅲ）由AG∥平面PEC知A、G兩點(diǎn)到平面PEC的距離相等
由（Ⅱ）知A、E、F、G四點(diǎn)共面，又AE∥CD∴AE∥平面PCD
∴AE∥GF，∴四邊形AEFG為平行四邊形，∴AE=GF（8分）
PA=AB=4，G為PD中點(diǎn)，F(xiàn)GCD
∴FG=2∴AE=FG=2（9分）
∴（10分）
又EF⊥PC，EF=AG=
∴（11分）
又V_P-AEC=V_A-PEC，∴，即，∴
∴G點(diǎn)到平面PEC的距離為．（13分）
點(diǎn)評：本題主要考查了線面垂直的判定，以及線面平行的判定和點(diǎn)到平面的距離的度量，同時(shí)考查了空間想象能力、運(yùn)算求解能力、推理論證的能力，屬于中檔題．