Question

袋中裝有黑球和白球共7個，從中任取2個球都是白球的概率為

1

7

．現(xiàn)有甲、乙兩人從袋中輪流、不放回地摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取…直到袋中的球取完即終止．若摸出白球，則記2分，若摸出黑球，則記1分．每個球在每一次被取出的機會是等可能的．用ξ表示甲四次取球獲得的分?jǐn)?shù)之和．
（Ⅰ）求袋中原有白球的個數(shù)；
（Ⅱ）求隨機變量ξ的概率分布列及期望Eξ．

Answer 1

考點：離散型隨機變量的期望與方差,等可能事件的概率

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）設(shè)袋中原有n個白球，由題設(shè)條件得到

1

7

=

C 2 n

C 2 7

=

n(n-1)

7×6

，由此能求出袋中原有白球個數(shù)．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知袋中有3個白球、4個黑球，由此得到ξ可能的取值是4，5，6，7．分別求出相對應(yīng)的概率，從而能求出隨機變量ξ的概率分布列及期望Eξ．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)袋中原有n個白球，
由題意知：

1

7

=

C 2 n

C 2 7

=

n(n-1)

7×6

，
解得n=3或n=-2（舍去），
∴袋中原有3個白球；
（Ⅱ）由上得．袋中有3個白球、4個黑球．
甲四次取球可能的情況是：4個黑球、3黑1白、2黑2白、1黑3白．
相應(yīng)的分?jǐn)?shù)之和為4分、5分、6分、7分，
即ξ可能的取值是4，5，6，7．
P(ξ=4)=

C 4 4

C 4 7

=

1

35

；
P(ξ=5)=

C 3 4 • C 1 3

C 4 7

=

12

35

；
P(ξ=6)=

C 2 4 • C 2 3

C 4 7

=

18

35

；
P(ξ=7)=

C 1 4 • C 3 3

C 4 7

=

4

35

．
∴ξ的分布列為：

ξ	4	5	6	7
P	1 35	12 35	18 35	4 35

Eξ=4×

1

35

+5×

12

35

+6×

18

35

+7×

4

35

=

40

7

．

點評：本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望，是中檔題，在歷年高考中都是必考題型．