Question

已知函數(shù)f（x）=x⁴+ax³+x²（x∈R）
（I）若a=-2，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（II）若f（x）僅在x=0處有極值，求實(shí)數(shù)a的范圍．

Answer 1

【答案】分析：（I）先求函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，當(dāng)a=-2時(shí)，令導(dǎo)數(shù)大于0，解得x的范圍為函數(shù)的增區(qū)間，令導(dǎo)數(shù)小于0，解得x的范圍為函數(shù)的減區(qū)間．
（II）函數(shù)的極值在導(dǎo)數(shù)等于0，處取得，因?yàn)閒（x）僅在x=0處有極值，所以f′（x）=0只有一個(gè)實(shí)數(shù)根0，即
x（4x²+3ax+2）=0只有一個(gè)實(shí)數(shù)根0，所以4x²+3ax+2＞0恒成立，再利用韋達(dá)定理求a的范圍即可．
解答：解：（I）當(dāng)a=-2時(shí)，f（x）=x⁴-2x³+x²
f′（x）=4x³-6x²+2x，
令f′（x）＞0，即4x³-6x²+2x＞0，解得0＜x＜，或x＞1
令f′（x）＜0，即4x³-6x²+2x＜0，解得x＜0，或＜x＜1
∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，）和（1，+∞）
f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（-∞，0），和（，1）
（II）f′（x）=4x³+3ax²+2x，
令f′（x）=0，即4x³+3ax²+2x=0，化簡(jiǎn)得x（4x²+3ax+2）=0
∵f（x）僅在x=0處有極值，∴4x²+3ax+2＞0恒成立
∴△=9a²-32＜0
解得-＜a＜
∴實(shí)數(shù)a的范圍為（-，）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考察了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷函數(shù)的極值位置，并和一元二次不等式的解的判斷聯(lián)系．