Question

已知函數(shù)f（x）=x³-x²+bx+c，且f（x）在x=1處取得極值
（1）求b的值；
（2）若當(dāng)x∈[-1，2]時(shí)，f（x）＜c²恒成立，求c的取值范圍；
（3）對任意的x₁，x₂∈[-1，2]，|f（x₁）-f（x₂）|≤0是否恒成立？如果成立，給出證明；如果不成立，請說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求導(dǎo)f′（x）=3x²-2x+b，代入求b；
（2）化簡f′（x）=3x²-2x-1=（x-1）（3x+1），從而得到f（x）的單調(diào)性，恒成立問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，從而得到2+c＜c²，從而解出；
（3）判斷f（x₁）-f（x₂）是否是恒等于0即可．

解答： 解：（1）f′（x）=3x²-2x+b，
則由f（x）在x=1處取得極值可得，
f′（1）=3•1²-2•1+b=0，
解得，b=-1；
（2）f′（x）=3x²-2x-1=（x-1）（3x+1），
則f（x）在（-∞，-

1

3

）上是增函數(shù)，
在（1，+∞）上是增函數(shù)，
在（-

1

3

，1）上是減函數(shù)；
又由f（-

1

3

）=

5

27

+c，f（2）=2+c，
則當(dāng)x∈[-1，2]時(shí)，f（x）＜c²恒成立可化為
2+c＜c²，
則c＞2或c＜-1；
（3）∵f（x₁）-f（x₂）不可能恒等于0，
∴任意的x₁，x₂∈[-1，2]，|f（x₁）-f（x₂）|≤0不可能恒成立．

點(diǎn)評：本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及極值的應(yīng)用，屬于中檔題．